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Propagation d'une OEM
Bonjour,
J'ai besoin d'un coup de main pour un exercice d'électromagnétisme.
Merci d'avance
Énoncé:
Une onde électromagnétique plane se propageant dans le vide est caractérisé par un champ électrique de la forme
.
1. Donner la signification physique des termes ,
et
intervenant dans l'expression de
.
2. Montrer que : .
3. Dans un système d'axes Oxyz, est parallèle à l'axe Ox , et Oz est la direction de propagation.
Calculer le champ magnétique et montrer que
.
4. Calculer le vecteur de poynting et calculer la densité d'énergie électromagnétique.
Je bloque sur la question 3 sur la détermination du champ magnétique.
J'ai pu écrire que . J'ai pris
mais je ne peux pas effectuer le produit vectoriel car le vecteur champ electrique n'est pas porté par ..
Bonjour
Pour obtenir le vecteur champ d'induction magnétique, il te faut partir d'une des deux équations de Maxwell reliant les vecteurs et
et intégrer. Tu peux introduire la variable
, trouver des relations simples entre les dérivées des composantes des vecteurs par rapport à u puis intégrer par rapport à u.
Pour simplifier les notations, puisque tu t'intéresses à une onde plane, tu peux orienter ton repère de sorte que l'axe de propagation soit l'axe (Oz). Le vecteur d'onde est colinéaire à cet axe de sorte que :
En raisonnant sur les divergences des vecteurs et
, tu dois commencer par montrer que l'onde est transversale.
Tu trouveras ici une démonstration utilisant uniquement les notations complexes. Elle est un peu plus rapide mais un peu plus difficile à comprendre.
Le rotationnel fait intervenir les dérivées par rapport aux coordonnées d'espace mais l'équation de Maxwell Ampère fait aussi intervenir les dérivées par rapport au temps des coordonnées du vecteur E. Pour commencer et simplifier l'étude, tu as intérêt à démontrer la transversalité de l'onde plane : les vecteurs E et B sont perpendiculaires au vecteur k. Cela se fait en considérant les divergences des deux vecteurs.
Sinon, les démonstrations en utilisant les complexes sont faites sur le document fourni précédemment. Tu peux essayer de le comprendre car,tel que les questions sont posées,il s'agit sans doute de celle demandée par ton professeur.
Ok d'accord, pour la transversalité de l'onde plane, je comprends mieux avec les complexes. Puisque le vecteur E est dirigé suivant l'axe Ox et k suivant l'axe Oz, le champ B serait orienté suivant l'axe Oy (en vertu de la transversalité de l'onde). Ainsi, le vecteur B a pour coordonnées (0, By, 0).
Son rotationnel est:
Le vecteur E est aussi de coordonnées (Ex, 0, 0).
En écrivant donc l'équation de Maxwell-Ampère, j'ai en considérant les composantes suivant l'axe Ox (faisant apparaître By):
Tu as sans doute besoin de bien revoir les définitions et les propriétés des divers opérateurs : gradient, divergence, rotationnel, laplacien et leurs relations avec l'opérateur vectoriel nabla. Ce document pourra sans doute t'aider même si de nombreux paragraphes sont inutiles dans ton contexte.
je comprends mieux avec les complexes
Dans ce cas, il faut utiliser la méthode décrite dans le document que je t'ai indiqué le 02-07-22 à 13:06. Je te résume l'essentiel.
Sachant que :
Plus subtil est l'application de l'opérateur vectoriel nabla. La démonstration est sur le document évoqué précédemment , paragraphe : ”Les opérateurs vectoriels pour des OPPH en notation complexe”. On y remarque que l'opérateur nabla est équivalent à
* puisque
*puisque
Résultats analogues pour le vecteur B. Cela permet de réécrire les équations de Maxwell dans le vide en utilisant les complexes associés :
Je te laisse poursuivre.
Donc j'obtiens en simplifiant le i puis en isolant le vecteur B:
.
Il me reste donc à effectuer le produit vectoriel?
Le résultat est beaucoup plus simple et surtout, directement sous la forme demandée par l'énoncé en partant de l'équation de Maxwell et Faraday :
en passant aux complexes associés :
Ok je vois, c'est vraiment beaucoup plus simple.
Je pense que c'est ok pour la suite 
.
Merci beaucoup à vous!
Bonjour, je n'ai pas compris comment le problème a été résolu.
Sauf erreur, on ne connaît pas le sens de E, ni de k (seulement leur direction), donc je vois toujours pas comment calculer le produit vectoriel.
Ni comment le fait de démontrer la relation de structure (qui avait déjà été donnée au poste initiale) a pu aider à faire le calcul 
De plus il me semble qu'il a fait une erreur non corrigée : si l'onde se propage parallèlement à (Oz), le vecteur k est porté par +/- ez, pas par ex.
Et E est bien porté par +/- ex (c'est l'énoncé qui le dit).
En bref : je connais le champ B à un signe près, et soit il y a une condition que je n'ai pas remarquée, soit l'énoncé est imprécis.
J'éspère que c'est la 2ème option parce qu'en ce qui me concerne, ce n'est pas un exo mais du cours, donc j'aimerais bien l'avoir compris 
La relation vectorielle :
que j'ai démontrée partiellement dans les précédents messages s'applique à chaque instant et est valide quel que soit le choix du repère choisi. Et justement : pour une onde plane donnée, on ne restreint pas la généralité de l'étude en choisissant le repère le plus simple possible. Un choix simple consiste à orienter l'axe (Oz) dans la direction et le sens de propagation. Ainsi :
Une fois l'axe (Oz) ainsi choisi, on ne restreint pas la généralité du problème en faisant tourner le repère autour de cet axe jusqu'à amener l'axe (Ox) ayant la direction et le sens de .
C'est un peu comme si on te demande d'étudier un mouvement rectiligne. Tu ne restreins pas la généralité de l'étude en choisissant un repère tel que l'axe Ox porte la trajectoire...
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