Niveau maths sup

Produit vectoriel et scalaire

Posté par
Serbiwni 06-09-20 à 16:16

Bonjour, je bloque sur des manipulations de produit vectoriel. Le problème est tiré d'un livre de physique mais c'est la partie mathématique qui me gêne :
Enoncé : soit une grandeur physique définie par un vecteur L, telle que $\frac{dL}{dt} =$ w ∧ L, où le vecteur ω est constant.
1) Montrer que ω · $\frac{dL}{dt} =$ ω · (ω ∧ L) = 0
2) Montrer que L · $\frac{dL}{dt} =$ L · (ω ∧ L) = 1/2 *   $\frac{dL^2}{dt} =$ 0 et en déduire que la norme de L est constante.
3) En déduire que l'angle entre ω et L est constant.

J'ai réussi la première question en montrant que les coordonnées s'annulent et donnent bien 0.
Pour la deuxième je fais pareil pour prouver que L · $\frac{dL}{dt} =$ L · (ω ∧ L) = 0.
Ensuite je dis que $\frac{dL^2}{dt} =$ 2 L · $\frac{dL}{dt} =$ d'où L · $\frac{dL}{dt} =$ 1/2 *   $\frac{dL^2}{dt}$ . Donc on a bien L · $\frac{dL}{dt} =$ L · (ω ∧ L) = 1/2 *   $\frac{dL^2}{dt} =$ 0

Grâce 1/2 *   $\frac{dL^2}{dt} =$ 0 j'en déduis que la norme de L est constante mais je ne vois absolument pas comment en déduire que l'angle entre ω et L est constant. Je vous remercie de votre aide.

J'ai pensé à prouver que |w ∧ L| = | $\frac{dL}{dt}$ | = |w|.|L|.sin(a) ?
Il faudrait alors montrer que | $\frac{dL}{dt}$ | est constant mais j'ignore comment faire.