Bonjour Sheeft,

voici la reponse a ta premiere question puisque c'est celle qui te bloque :
La norme du vecteur acceleration est a = dv/dt. Comme elle est donnee dans l'enonce , on arrive a l'equation differentielle dv/dt = -v². Tu as certainement deja vu quelques methodes d'integration des equa. diffs. : celle-ci peut s'ecrire -dv/v² = dt. Elle est ainsi devenue une equation a variables separees. On peut prendre la primitive de chaque terme, ce qui donne 1/v = t + C, Cetant trouvee a partir des contitions initiales : en t = 0, v(0) = v₁ soit C = 1/v₁. Finalement on arrive a 1/v(t) - 1/v₁ = t. Qui a dit que ce n'etait pas vraiment possible ?
Maintenant, pour obtenir x(t), il faut trouver la primitive de v(t), puisque v = dx/dt. Je te laisse chercher ? Pendant ce temps je finis les autres questions.
A bientot,  prbebo.

Ah d'accord… Merci. Cette façon de faire n'est pas naturelle pour moi donc je n'y pense pas (et puis je ne l'ai jamais vraiment pratiqué). Par contre, pourquoi est-ce que le moins devant le dv/v² s'en va quand on intègre ?

Par contre, la question ne me demande-t-elle pas d'exprimer v en fonction du temps et donc de tout passer à l'inverse pour répondre correctement ?

Merci.

Lorsqu'on fait quelque chose pour la premiere fois, ce n'est jamais un acte naturel ; ca ne le devient qu'au bout d'un certain nombre de fois. En d'autres termes, plus on fait d'exercices d'entrainement, mieux on s'en sort ! L'ecriture d'a = dv/dt presente la derivee de v(t) comme un rapport : celui d'une petite variation de la vitesse divisee par une petite variation du temps. On peut donc traiter cette derivee comme une fraction et lui lui appliquer les regles du calcul algebrique, cad faire passer dt a droite du signe = et v2 a gauche. Ensuite, quand on a une equation du type x(t) = y(t), on a le droit de la deriver ou d'en prendre la primitive pour obtenir deux autres relations. Mais je reconnais que quand on n'a jamais fait ca, ca ne s'invente pas...

Concernanst le signe - devant dv/v2, la reponse est oui : en effet, la derivee de la fonction f(x) = 1/x est f' = -1/x². Donc la primitive de 1/x² est -1/x (a la constante C pres), mais comme ici on a affaire a -1/v², ca nous debarrasse du signe -.

Pour ton dernier post que je decouvre en tapant celui-ci : oui bien sur, le resultat que je t'ai donne n'est pas finalise : c'est juste pour te montrer l'integration de l'equation differentielle. Il faut terminer la reponse en ecrivant v(t) = v₁ / (v₁t + 1).
Petite question au passage : en quelle unite s'exprime le produit v₁t ?

Je vais faire quelques courses et je reprends l'antenne vers 17 heures.

Bon courage,  prbebo.

Oui ça je le sais merci… Mais ce qui me fait bizarre c'est que dv/v² se comporte comme 1/v² quand on primitive…

Pour x, il faut faire ainsi ?

v = dx/dt donc dt/dx = αt + 1/v₁ donc 1/dx = (αt)/dt + 1/(v₁dt) donc ln(x) = αt + 1/v₁ + C. Avec C = 0 car x(0) = 0.

C'est ça ?

Et pour la question 2, je dois trouver ainsi x = e^1/v ?

Merci beaucoup !

Bonsoir,

En parcourant ce problème je suis étonné que dans la relation ente x et v il n'y ait pas alpha et v1.

Bien sûr je laisse prbebo vous guider.
   JED.

Aieaiehouille !! En effet tu as besoin d'un petit decapage en mathematiques, surtout en calcul differentiel et integral. Et en math sup, ca va devenir urgent !
1) quel est interet d'ecrire dt/dx = 1/v, alors que c'est x que l'on cherche ?
2) ecrire 1/dx est une heresie mathematique, car (relis la definition de la derivee que j'ai rappelee dans mon premier post), dx est une quantite tres petite. donc 1/dx est quasiment infini...
3) la primitive de 1/dx n'est pas Ln(x) !!!

Pour obtenir x(t) il n'y a qu'un moyen : trouver la primitive de la fonction v(t) ; or la primitive de la fonction f(t) = K/(at + b) est F(t) = K.Ln(at + b)/a + C : si tu en doutes, rederive F(t) et si tout se passe bien du retrouveras f(t).
Ainsi on ecrit dx = v₁.dt/(v₁t + 1) dont on tire x(t) = Ln(v₁t + 1) / + C, cette constante etant nulle puisque au temps t = 0 le numerateur de l'expression est Ln(1) qui est nul.

Question 2 : Comme (v₁t + 1) vaut v₁/v, on peut ecrire x(t) = Ln(v₁/v)/. Pour le moment je ne vois pas encore a quoi ca va servir, mais je vais regarder ca ce soir.

La remarque de JED est tout a fait pertinente, car les constantes du probleme, v₁ et , devraient figurer explicitement dans la relation demandee. Je vais lui ajouter deux autres remarques : a) ton resultat x = e^1/v n'est pas homogene : x est une distance, l'exponentielle n'a pas d'unite. b) ce resultat ne respecte pas les conditions initiales : en t = 0, v(0) = v₁ et donc on obtient x = e^1/v1 alors qu'il devrait etre nul...

Je te laisse avec la question 3 qui est nettement plus facile. Pour les suivantes on va voir au fur et a mesure.

Pour JED : bien sur tu peux continuer a intervenir sur ce topic ! Ca ne me derange pas du tout, bien au contraire ! Tu trouveras sans doute d'autres mots plus efficaces que les miens que les miens pour expliquer.

A bientot tous les deux.  B.B.

Excusez-moi, je me suis bien rendu compte que mon résultat posait problème par la suite… Mais selon moi, mon problème ne vient pas de mon incompréhension de la dérivation et intégration, mais de la notation dx/dt que j'ai à priori du mal à manipuler.

Je ne vois pas pourquoi on peut écrire dx/dt = k donc dx = kdt mais pas 1/dt = k/dx puisque tu me disais qu'on pouvait appliquer les règles du calcul algébrique. (Je ne dis pas que j'ai raison de trouver ça bizarre, juste que je ne comprends pas). Ensuite, je ne comprends pas pourquoi primitiver dv/v² revient à primitiver 1/v².

Enfin, pour le calcul, lorsque l'on intègre de chaque côté, dans le membre de gauche on intègre par rapport à v (c'est à ça uniquement que sert le dv ?) et dans l'autre, par rapport à t c'est bien cela ? Si un des membres ne présentait pas de dX alors on ne pouvait pas le faire c'est ça ?

Donc si j'ai bien compris, c'est comme dans une intégrale quoi… dX c'est 1*dX et le dX ne sert (au niveau calculatoire) qu'à savoir par rapport à quoi on intègre. C'est ça ?

Bon, je pense avoir compris, j'ai réussi à faire ce passage sans lire la solution que tu avais écrite.

Pour la question 3, j'ai trouvé x₂(t) = v₂t + d en primitivant tout simplement.

Ensuite, pour la 4, j'ai dérivé X(t) et fait un tableau de variations (on a le "droit" de le faire en physique ?) pour trouver t₀ = 40/3 s = 13,3 s.

Jusque là ça va ?

Ensuite, pour la question 5, je pars de X(t₀) la distance minimale, et je dis donc que cette valeur doit être strictement positive si on veut éviter un accident. Je résouds donc l'inéquation pour arriver à .

J'ai bon ?

Merci beaucoup de votre aide.

Et pour l'application numérique, je trouve environ 340 m, c'est correct ?

Bonsoir Sheet,

je vais te repondre rapidement car j'ai d'autres messages importants a envoyer avant demain, et il est pratiquement 23 h...

1) pour ta premiere phrase : j'ai bien vu que tu as des problemes avec la nottion dx/dt. Ne t'inquiete pas, il n'y a aucune difficulte la-dedans : c'est juste que cette notation exprime le quotient de deux quantites, dx et dt, tres tres petites. En maths, quand le numerateur d'une fraction est tres petit, la fraction est normalement tres petite (divise 0,001 par 1...) ; quand c'est le denominateur qui est tres petit, cette fraction est normalement tres grande (divise 1 par 0,001..). Mais que se passe-t-il quand le numerateur et le denominateur sont tres petits a la fois ? En gros, qu'obtient-on quand on divise a par b lorsque a et b sont tres petits tous les deux ? Eh bien, on ne sait pas : ca depend de la maniere dont a et b tendent vers 0. Le quotient a/b peut donner 0, un nombre quelconque, l'infini... Dans la majorite des cas, c'est une quantite finie (cad ni nulle ni tres grande), qui, si a represente dx et b dt, fournit la derivee de x(t) au point ou on la calcule.

Phrase 2 (1/dt = k/dx) : Oui tu peux ecrire ca, puisque les regles du calcul algebrique le permettent. Le tout est de savoir ce qu'on va en faire ensuite : une equation du type "l'infini = l'infini" ne fournit souvent aucun renseignement... en revanche la relation "tres petit_1 = tres petit_2" est bien plus efficace, car en additionnant les "tres petits" de la variable 1, d'une part, et les "tres petits" de la variable 2, d'autre part, on peut obtenir entre ces deux variables une relation exploitable. C'est la toute la base du calcul integral.
Fin de la phrase 2 : a) d'abord "primitiver" ca ne veut rien dire : on calcule une primitive, c'est tout. b) ensuite, on ne calcule pas la primitive de dv/v², mais de la fonction 1/v² : la primitive d'une fonction f(t) est une autre fonction appelee F(t), telle que la derivee de F(t) redonne f(t). Quand on calcule le produit f(t) dt, ou dt est tres petit, on obtient dans le diagramme (t en abscisse, f(t) en ordonnee) la surface d'un rectangle de largeur tres petite. Si on additionne la surface de tous ces rectangles places entre t = t1 et t = t2, il est facile de montrer que le resultat donne F(t2) - F(t1). Dans ton probleme, additionner (pas primitiver !) dv/v² donne la primitive de la fonction 1/v², calculee entre deux points (ou deux instants) quelconques entre lesquels on a choisi de faire la sommation. Vois-tu maintenant la difference entre une integrale et une primitive ? Si non, ecris-moi et on en remettra une couche.

Pour tes deux dernieres questions : laisse-moi un peu de temps pour te repondre, car il commence a se faire vraiment tres tard. Eventuellement, explique-moi ce que tu veux dire par "c'est comme une integrale quoi" : en d'autres termes, pour toi  c'est quoi une integrale ?

Pour ton probleme : j'ai fini de rediger la solution, et je trouve que la distance de securite demandee dans la question 5 a pour expression d_s = (1/).[1/k - 2 + Ln(k)], ou j'ai pose k = v₁/v₂. Application numerique, d_s = 46 m (45,95 exactement).

On verra ca demain, mais envoie-moi ta proposition de reponse pour la question 3, qui est tres facile. Et aussi, ta reponse pour ma question "en quelle unite s'exprime le produit v₁t".

A demain,  B.B.

Juste qqes mots a propos de ton dernier post :
x2(t) = v2.t + d : OK, c'est bien ca.
Pour t₀ : je trouve t₀ = (v₁/v₂ - 1) / (v₁) soit 5,83 s, ce qui donne dmin = 46 m/s. Ce qui m'interpelle dans ton resultat, c'est que j'ai d'abors trouve dmin = 340 m, mais en pensant avoir fait une erreur. Du coup je vais rependre mes calculs demain (cad en fait, tout a l'heure !), car peut-etre que ma 1ere solution etait la bonne et la tienne aussi. Ma batterie biologique vient de passer en mode survie, donc je vais arreter la pour aujourd'hui.
A demain apres-midi sans faute.  B.B.

Merci, je pense que j'ai vraiment compris pour ce qu'il se passe quand on intègre de chaque côté. On fait la sommation des deux membres qui sont multipliés par différentielle v ou t (donc une très petite quantité).

αv₁t n'a pas d'unité sinon.

Après, j'ai soit fait une erreur lors de l'application numérique, soit une erreur dans l'expression de t₀…
Tu n'as pas fait avec un tableau de variations n'est-ce pas ?

Moi j'étais arrivé à .
Ensuite, j'étudiais le signe du numérateur pour dresser un tableau de signe puis de variations et trouver le minimum pour .

C'est bon, j'ai identifié mon erreur de calcul… J'ai oublié un petit v2 à un endroit… Et ça change tout.

Je trouve donc .
Puis dmin = 45,95 m.

Donc je pense que cela doit être bon maintenant.

Mais comment déterminer la valeur minimale de X(t) sans dériver et faire un tableau de variations ? (Je sais qu'on pourrait juste regarder quand la dérivée s'annule, mais cela ne prouverait pas nécessairement que ce soit un minimum, on ne pourrait le faire que parce que c'est ce que présuppose la question non ?).

Bonjour Sheeft !

D'apres ton dernier post (ce matin a 10h03), tes valeurs numeriques de t₀ et de dmin sont bonnes. L'expression litterale de t₀ aussi, quant a celle de dmin je ne la vois pas. Pour la dimension de v₁t, tu as bon : ca n'a pas d'unite, donc on peut lui additionner le chiffre 1, sans unite lui aussi.
Comme visiblement tu as trouve la solution, le plus simple est que je te donne mon corrige, que je vais detailler pour les questions 4 et 5 (les autres on est d'accord la-dessus).

1)  v(t) = v₁/(1+v₁t) = dx/dt, ce qui donne x(t) = (1/).Ln(1+v₁t). On verifie que les conditions initiales sont satisfaites : en t = 0, x = 0 et v = v₁.

2)  De x(t) et de v(t) on tire facilement x = (1/).Ln(v₁/v). Je m'en suis servi dans la question 5, mais ce n'etait pas indispensable...

3)  x₂(t) = v₂t + d. Pas de pb, c'est un mouvement rectiligne uniforme.

4) On pose X(t) = x₂(t) - x(t). Pour obtenir les extremums de la fonction X(t) (ici un minimum), on derive : dX/dt = dx₂/dt - dx/dt. Or la premiere derivee est v₂, la vitesse de la voiture de tete, et la seconde derivee c'est v, celle de la voiture suiveuse. Donc dX/dt = v₂ - v(t), et le minimum cherche est atteint au temps t₀ tel que v(t₀) = v₂. Au fond, c'est une evidence ! Lorsque deux mobiles ont la meme vitesse, la distance qui les separe est constante... Au depart v₁ est > que v₂ : donc la voiture suiveuse rattrape la voiture de tete et leur distance diminue (tu verifieras facilement que dX/dt est < 0 pour t < t₀). Mais v(t) diminue avec t (a cause des frottements caracterises par ), tandis que v₂ reste cosntant. Il arrive donc un temps t₀ pour lequel v = v₂. A ce moment, si le choc n'a pas eu lieu, X passe pas son minimum. Apres l'instant t₀, v continue de diminuer donc v₂ > v(t) : la voiture de tete s'eloigne.
L'espression de t₀ est donnee par v₁/(1+v₁t₀) = v₂, dont on tire facilement t₀ = (v₁/v₂ - 1)/v₁ (on peut encore l'ecrire = (1/)(1/v₂ - 1/v₁) ).

4)  Ensuite, je n'ai pas fait de tableau de variation car on dispose de toutes les infos necessaires : l'expression de X pour tout instant t, et l'instant strategique t₀ ou X doit etre superierur ou egal a zero pour que la collision n'ait pas lieu.
Ecrivons separement les abscisses x₂ et x pour l'instant t₀. Comme on va rencontrer constamment le rapport v₁/v₂, on va poser v₁/v₂ = k, pour gagner du temps et de la clarte (ca, tu as toujours le droit de le faire) :

a)  x₂(t₀) = v₂.t₀ + d = v₂.(v₁/v₂-1)/v₁. Ce qui devient x₂(t₀) = (k-1)/k + d = (1 - 1/k)/ + d.

b)  x(t₀) =  (1/).Ln(v₁/v₂), cette relation vient de l'expression trouvee en 2, dans laquelle j'ai fait v(t) = v₂ puisque c'est ce qui se produit a l'instant t₀. On peut donc ecrire x(t₀) = Ln(k)/.

Finalement, j'obtiens X(t₀) = d + (1/)[1 - 1/k - Ln(k)] qui est 0 si d (1/ [1/k - 1 + Ln(k)] C'est le resultat final !

A.N. : k = 1,778 et le reste tu l'as trouve.

Conclusion : au calcul des primitives pres, ce n'etait pas si difficile que ca !

Si tu as d'autres pb qui te donnent du cousi, n'hesite pas a les poster. Bon courage pour la suite et a bientot.

B.B.

pardon : du souci, pas du cousi... je commence a surchauffer moi...

Bonjour,

En fait je suis passé par le tableau de variations pour déterminer le minimum, mais ça revient effectivement au même…

En fait, j'ai résolu X(t₀) > 0 (strictement parce que si X(t) = 0 alors c'est qu'il y a collision non ?) et donc j'arrive à , et dmin est donc la valeur limite.

Merci beaucoup, je pense avoir beaucoup appris avec cet exercice et votre aide.