Bonjour,
Plutôt bizarre tout ça !
Le début semble concerner le mouvement d'un solide sur un plan incliné sous la seule action de son poids.

Tu écris :
m*z'(dérivé seconde)=-mg cos(alpha)+R=0
La première relation m*z'(dérivé seconde)=0 est fausse
La deuxième relation ) -mg cos(alpha)+R=0 correspond à la projection de la deuxième loi de Newton sur un axe perpendiculaire à la ligne de plus grande pente du plan

La suite :

x(dérivé seconde)=-w02*x
et la solution s'écrit :
x(t)=x0*cos(w0t)

n'a rien à voir avec le mouvement d'un solide sur un plan incliné

Et la fin
-dEp=vecteur de la force * distance élémentaire
semble indiquer que tu n'as pas compris qu'on ne peut pas dissocier le "d" du Ep dans l'expression dEp qui représente la variation élémentaire d'énergie potentielle.

Qu'est ce que les axes x' et y', R , wo ... ?

Ecris donc l'énoncé complet de ton exercice et pas un extrait interprété et mal compris.

Pas vu le message de odbugt1 avant d'envoyer le mien.

Oui excusez moi c'est un peu confus, mais l'écriture de ton message a déjà résolu pas mal de mes interrogations il m'en reste seulement deux :

formule écrit dans le cas d'un ressort harmonique horizontal où x(dérivée seconde) correspond à l'accélération mais alors qu'est ce que ce w et a quoi correspond-t-il ?
x(dérivé seconde)=-w₀²*x

et deuxième question où les points d'exclamations signifie "vecteurs":

pour l'Ep j'ai cette formule :
-dEp=dW=F(!)*dx(!)

les d correspondent donc à la variation d'énergie potentielle (équivalent de delta donc) alors comment arriver à la formule de l'énergie potentielle à partir de cette formule (dW inutile) ?

La 2e loi de Newton appliquée à un oscillateur harmonique horizontal conduit à une équation différentielle très classique :



En posant ²₀ =k/m cette équation s'écrit



Il est facile de vérifier que l'équation horaire  :



est une solution de l'équation différentielle précédente.

Tu trouveras une multitude de sites internet qui traitent cette question de l'oscillateur harmonique horizontal .
Voir par exemple ici:

L'expression dE_p = -dW(Forces intérieures) est l'expression générale sous forme différentielle de la définition de l'énergie potentielle liée à un système déformable.

Le travail élémentaire d'une force sur un déplacement élémentaire   se calcule comme le produit scalaire


Pour arriver à la "formule" de l'énergie potentielle il faut en savoir davantage car cette "formule" dépend de la nature du système étudié, mais le calcul nécessite une intégration plus ou moins simple suivant les cas.

Okay, merci pour tes réponses, j'ai enfin compris !