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Problème d'intégration en Electrostatique

Posté par
pablitom94 12-02-10 à 22:34

Bonjour, je travail sur un exercice d'électrostatique dans lequel on a un disque d'épaisseurs négligeable, de centre O et de rayon R, chargé uniformément. Je dois calculer le champ en un point P quelconque de l'axe du disque.
J'ai donc calculé le champ élémentaire en P, puis j'ai commencé à intégrer.
Au cours de mon calcul j'en suis arrivé à $3$E=\frac{\sigma.z}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{R}\frac{r}{(\sqrt{r^2+z^2})^3}dr\int_0^{2\Pi}d\phi$ .
Ce qui me gène c'est cette intégrale: $3$\int_0^{R}\frac{r}{(\sqrt{r^2+z^2})^3}dr$ .
Dans mon livre, il remplace $r$ par $d(r^2+z^2)$ , ce qui donne $3$\int_0^{R}\frac{d(r^2+z^2)}{(\sqrt{r^2+z^2})^3}dr$ .
Mais je ne sais pas comment on intègre ensuite? Etant donné qu'il y a à la fois $dr$ et $d(r^2+z^2)$ .
Un grand Merci à la personne qui me viendra en aide...

Posté par re : Problème d'intégration en Electrostatique 12-02-10 à 23:06

Dans ton livre, il ne font pas tout à fait ce que tu dis.

Ce qu'ils font, c'est qu'ils remplacent $r{\rm d}r$ par $\frac 1 2 \rm{d}\left(r^2+z^2\right)$ .

En introduisant la variable $u=r^2+z^2$ l'intégrande devient $u^{-\frac 3 2}{\rm d}u$ , ce que tu sais normalement intégrer.

Attention aux bornes d'intégration...

Posté par re : Problème d'intégration en Electrostatique 14-02-10 à 17:46

Oui en effet j'ai fait une erreur de frappe, cependant dans le livre ils ne remplacent par $rdr$ par \ $frac 1 2 \rm{d}\left(r^2+z^2\right)$ , mais ils remplacent juste r par $\frac 1 2 \rm{d}\left(r^2+z^2\right)$ .
Et obtient finalement l'intégrale $3$\int_0^{R}\frac{d(r^2+z^2)}{2(\sqrt{r^2+z^2})^3}dr$ .
Alors ce qui me gène c'est le fait qu'on ait d(r²+z²) et dr qui cohabitent dans une même intégrale. Est-ce une erreur du livre?
Cette question m'amène à une autre question: a-t-on d(r²+z²)=2r?

Posté par re : Problème d'intégration en Electrostatique 14-02-10 à 17:54

(Voici la réponse rédigée correctement)
Oui en effet j'ai fait une erreur de frappe, cependant dans le livre ils ne remplacent pas $rdr$ par $\frac 1 2 \rm{d}\left(r^2+z^2\right)$ , mais ils remplacent juste r par $\frac 1 2 \rm{d}\left(r^2+z^2\right)$ .
Et on obtient finalement l'intégrale $3$\int_0^{R}\frac{d(r^2+z^2)}{2(\sqrt{r^2+z^2})^3}dr$ .
Alors ce qui me gène c'est le fait qu'on ait d(r²+z²) et dr qui cohabitent dans une même intégrale. Est-ce une erreur du livre?
Cette question m'amène à une autre question: a-t-on d(r²+z²)=2r?

Posté par re : Problème d'intégration en Electrostatique 14-02-10 à 19:24

Je n'avais pas envisagé une erreur du livre. C'est pourtant le cas ici.

Par curiosité, de quel livre s'agit-il?

Concernant ta question, non, la relation que tu indiques n'est pas correcte. Il faudrait revoir la notion de différentielle...

On a, de façon générale, ${\rm d}\left(r^2+z^2\right)=2r{\rm d}r+2z{\rm d}z$ . Et ici, $z$ reste manifestement constant dans ce calcul et l'on a donc simplement ${\rm d}\left(r^2+z^2\right)=2r{\rm d}r$ .

Posté par re : Problème d'intégration en Electrostatique 14-02-10 à 20:53

D'accord je comprends bien mieux maintenant, merci Donaldos. Le livre c'est Electromagnétisme PCSI, Editions Bréal. Ce n'est d'ailleurs pas la première coquille que j'y trouve.

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