Bonsoir,
i=(U_A-U_B)/R
Reste à trouver U_A et U_B
Je te propose de donner un nom, C, au point de jonction en haut entre E1, E2 et R.
Tu peux écrire les équations des courants aux noeuds A, B et C:
Sauf erreur, tu as
En A:
(U_C-U_A)/R+(U_C-E1-U_A)/R+(U_B-U_A)(1/r+1/R)=0
En B:
(U_C-E2-U_B)/r+(U_A-U_B)((1/r+1/R)=0
En C:
(U_C-E1-U_A)/R+(U_C-E2-U_B)/r-(U_C-U_A)/R=0
Ce qui te donne 3 équations à 3 inconnues (U_A, U_B et U_C)
Y'a plus qu'à!

j'ai demandé a ma prof qui m'a dit de placer deux intensités (i1, i2) chacune sortant d'un générateur en respectant la convention générateur, l'intensité dans la résistance R est alors i1 + i2. mais après je vois pas comment je dois placer les autres ?! (celle qui repart de A vers E1 c'est quoi? de meme pour B vers E2)

Tu as donc le choix:
Ce que t'a proposé ta prof: Sans doute, ça marche.
Ce que je t'ai proposé: Très probablement, ça marche aussi.
Tu fais comme tu veux!

3 équations de mailles :

E1 - R(i1 + i2) - R.i1 = 0
E2 - R(i1 + i2) - r.(i2-i) - r.i2 = 0
r(i2-i) - R.i = 0

E1 - 2R.i1 - R.i2 = 0
E2 - Ri1 - i2(R + 2r) + ri  = 0
r.i2 - (r+R)i = 0

i2 = [(r+R)/r].i
E1 - 2R.i1 - R.[(r+R)/r].i = 0
E2 - Ri1 - [(r+R)/r](R + 2r).i + ri  = 0

i1 = E1/(2R) - [(r+R)/(2r)].i
i1 = E2/R  - [(r+R)/(Rr)].(R + 2r).i + (r/R)i

E1/(2R) - [(r+R)/(2r)].i = E2/R  - [(r+R)/(Rr)].(R + 2r).i + (r/R)i

r.E1/(2Rr) - [R.(r+R)/(2Rr)].i = 2rE2/(2rR)  - [2(r+R)/(2Rr)].(R + 2r).i + (2r²/(2rR)).i
r.E1 - R.(r+R).i = 2rE2  - 2(r+R).(R + 2r).i + 2r².i
r.E1 - 2rE2 = - 2(r+R).(R + 2r).i + 2r².i + R.(r+R).i
r.E1 - 2rE2 = i.[- 2(r+R).(R + 2r) + 2r² + R.(r+R)]
r.E1 - 2rE2 = i.(-2rR - 4r² - 2R² - 4rR + 2r² + Rr + R²)
r.E1 - 2rE2 = i.(-5rR - 2r² - R²)
2rE2 - r.E1 = i.(5rR + 2r² + R²)

i = (2E2 - E1).r/(5rR + 2r² + R²)
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Calculs à vérifier bien entendu.  

Er cette méthode est loin d'être la seule pout trouver la solution.

J-P: Respect!
Moi, j'ai eu la flemme...

merci beaucoup