Bonjour
Il faut réussir à exprimer le flux de B créé par l'aimant à travers la bobine en fonction de (t), l'élongation du pendule. Cela te conduit à une expression de flux magnétique qui dépend de t si le pendule oscille.La bobine se comporte alors comme un générateur de force électromotrice induite :

Si la bobine n'est parcouru par aucun courant (branchement à ses bornes d'un oscilloscope par exemple), la bobine n'exerce aucune force sur le pendule que tu peux étudier classiquement. Le problème n'est pas simple pour autant : un aimant ne crée pas un champ magnétique uniforme : l'expression de en fonction de est compliquée... Pour t'en dire plus, il faudrait un schéma.
Le problème se complique encore si la bobine appartient à un circuit fermé : le courant qui la traverse créé un champ magnétique induit qui va exercer une action sur l'aimant. D'après la loi de Lenz, cette action tendra à amortir le mouvement du pendule...
Un problème plus simple consiste à remplacer la bobine par une simple plaque constitué d'un métal non ferreux, placée verticalement derrière le pendule de façon que l'aimant se déplace en restant à distance fixe de la plaque. On démontre alors que le pendule est soumis à un force de frottement proportionnelle à sa vitesse angulaire, à la conductivité de la plaque métallique et au carré de B .
L'étude de l'amortissement avec des plaques constituées de métaux différents permet de comparer les conductivités des métaux...

Merci d'abord pour votre réponse; justement, la bobine est branché à un voltmètre puis grâce à un  logiciel de simulation on a réussi  à obtenir la courbe représentant la tension au borne de la bobine en fonction du temps(la courbe est sinusoïdale).Je signale que la bobine n'appartient à aucun circuit.Voilà une image montrant la situation: l'aimant est en oscillation.

Merci pour la photo ! Je connais bien ce matériel : c'est justement lui qui a les accessoires pour réaliser l'étude des amortissements par courants de Foucault en plaçant une plaque de métal derrière le pendule. En reliant les bornes rouge et noire situées au voisinage de l'axe de rotation à la carte d'acquisition (je reconnais le matériel de la marque Eurosmart), il est possible d'enregistrer la courbe =f(t).
Je reviens à ton expérience. Point positif : vue l'impédance d'entrée de la carte d'acquisition, tu peux poser i=0 dans la bobine ; la tension aux bornes de celle-ci est donc, au signe près en fonction du branchement : .
Reste à calculer en fonction de . L'aimant semble rectangulaire, la bobine a une longueur importante devant la distance entre le plan d'oscillation de l'aimant et la première spire de la bobine... Franchement : je crains qu'aucun calcul rigoureux de flux ne soit possible.
En revanche, il existe une relation simple entre la période de la tension que tu enregistres et la période du mouvement du pendule ; d'où une mesure très précise de cette période et une étude précise possible de l'influence de divers paramètres sur la période du pendule...
Quel est l'objectif très précis de cette étude ? La réponse à cette question me permettrait d'être plus précis...

L'objectif de cette expérience est d'étudier la conversion de l'énergie mécanique  en énergie électrique. J'aimerais bien faire un bilan énergétique.Je sais que  l'énergie cinétique donnée initialement  au pendule se transforme d'une part en énergie électrique et d'autre se dissipe par effet joule dans la bobine puis en chaleur au niveau de liaison pivot ou encore par frottement d'aire.Le problème c'est que  je sais pas jusqu'à maintenant comment traduire cela en équations mathématiques.

Ce qui est étonnant c'est que j'ai détecté  une variation du courant au borne de la bobine (il est trop faible vu l'impédance grande de la carte d'acquisition comme vous l'avez signalé , voilà une autre photo  ).ce courant est-il induit ?
Sinon, c'est ce dispositif n'est pas adapté à l'étude de la conversion, vous pouvez détailler votre remarque précédente concernant l'étude précise possible de l'influence de divers paramètres sur la période du pendule? comment trouver la relation entre les deux périodes ?

Avant de répondre de façon détaillée à ta question, j'aimerais savoir si le dispositif vu sur la photo au voisinage de l'axe de rotation du pendule fonctionne correctement ; je connais très bien ce type de matériel : s'il n'a pas été détérioré, il permet, en le branchant correctement à la carte d'acquisition, d'enregistrer directement la courbe =f(t) ce qui facilite grandement une étude précise du mouvement pendulaire. Le dispositif que tu proposes permet seulement une mesure précise de la période du pendule comme déjà expliqué.
Le flux à travers la bobine présente un maximum à chaque fois que l'aimant passe dans l'axe de la bobine soit deux fois par période du pendule, donc...

oui il  fonctionne correctement on a même trouvé =f(t) dans le cadre de l'étude classique du pendule pesante.

Ton ampèremètre fonctionne-t-il correctement : indique-t-il zéro sur le calibre utilisé quand tu relies ses deux bornes par un simple fil conducteur ?
La carte d'acquisition fonctionne-telle correctement : l'ampèremètre indique-t-il zéro quand tu le relis aux deux bornes d'entrée de la carte d'acquisition ?
Autre problème possible : ton labo est peut-être proche d'ateliers où fonctionnent des machines industrielles grosses consommatrices d'énergie électrique ; on peut imaginer dans ce cas  l'existence d'un champ magnétique créé par ces courants de forte intensité et de fréquence 50Hz. Ce champ magnétique peut créé éventuellement un courant induit parasite dans la bobine ; sa fréquence est 50Hz. Ce courant existerait même en absence de mouvement du pendule.
Si le microampèremètre indique zéro dans les trois cas que je viens d'évoquer, la seule cause de courant possible est bien le phénomène d'induction. Sachant que l'impédance d'entrée de la carte est de l'ordre de 1M, l'intensité efficace de ce courant induit ne peut excéder quelques dizaine de microampères.

sincèrement je n'ai pas vérifié les deux premieres hypothèses pour la troisième le labo est bien  loin de toute source  consommatrice d'énergie électrique .je sais pas  si l'introduction de la bobine influencerait sur la période.  

Vu la difficulté  de la situation, je chercherais un autre dispositif. Merci  énormément pour votre aide.