Niveau maths sup

principe de conservation de l'énergie

Posté par
Kya39 25-02-21 à 15:20

Bonjour,

J'aimerais savoir comment faire le bilan d'énergie et ce que je dois obtenir dans mon énoncé suivant :

Soit (S) une surface fermée fictive qui délimite un volume V de l'espace contenant de la matière. On note $\varepsilon (t)$ l'énergie contenue dans V à l'instant t : $\varepsilon (t)=\int \int \int e(M,t)d\tau$ où e est la densité volumique d'énergie.
En associant à toute variation d'énergie du système physique, la somme de ce qui est transformé dans le système et transférée vers l'extérieur, faire un bilan d'énergie et en proposer une expression intégrale.

Je vous remercie d'avance pour votre réponse

Posté par re : principe de conservation de l'énergie 25-02-21 à 15:24

Bonjour
Il existe de multiples modes de transfert d'énergie... Peux-tu préciser dans quel cadre du travaille : électromagnétisme, conduction thermique...
Le théorème d'Ostrogradski : cela te dit quelque chose ?

Posté par re : principe de conservation de l'énergie 25-02-21 à 15:28

Excusez-moi, j'avais oublié de préciser que c'est avec le champ électromagnétique.
Je connais le théorème d'Ostrogradski mais je pensais justement l'utiliser pour écrire ensuite la formulation locale (ce qui m'est demandé par la suite)

Posté par re : principe de conservation de l'énergie 25-02-21 à 16:15

OK. La technique habituelle consiste à écrire de deux façons différentes la variation élémentaire d_(t) entre les instants de dates t et (t+dt).
1° : utiliser la différentielle :

$d\varepsilon_{(t)}=\frac{\partial\left[\iiint e_{(t,M)}\cdot d\tau\right]}{\partial t}\cdot dt$

2° : raisonner sur les causes de cette variation en faisant intervenir les puissances :

$d\varepsilon_{(t)}=\left(\sum_{i}P_{i}\right)\cdot dt$
On tient compte habituellement de deux puissances :
La puissance cédée à la matière par le champ électromagnétisme : sachant que la densité volumique de puissance cédée vaut $\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}$ ...
La puissance rayonnée à travers la surface (S) qui délimite le volume étudié. Elle fait intervenir le flux du vecteur de Poynting à travers cette surface fermée. Attention aux signes...
Je te laisse réfléchir.

Posté par re : principe de conservation de l'énergie 25-02-21 à 16:33

D'accord, je comprends comment faire le bilan d'énergie. Merci

Je voulais en profiter pour poser une autre question : j'ai la force de Lorentz $\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v} (produit vectoriel) \vec{B})$
Je trouve $\frac{dP}{d \tau }=\vec{E}.\vec{j}$
Si la matière est électriquement neutre, est-ce qu'elle reçoit de l'énergie que si elle est le siège de courants ? Je pense que non mais je ne serais pas comment justifier.
Et pour finir, dans quelle condition cette puissance est-elle maximal ?

Posté par re : principe de conservation de l'énergie 25-02-21 à 18:36

Prenons le cas classique d'un conducteur métallique. En première approximation, on peut le décrire comme un réseau d'ions positifs fixe (densité volumique de charge : $\rho_{f}>0$ ) à l'intérieur duquel se déplacent des électrons de conduction (densité volumique de charge : $\rho_{m}<0$ ). Sauf cas très particulier à régime très haute fréquence, la densité volumique de charge $\rho=\rho_{f}+\rho_{m}$ est nulle. Si on fournit des charges à un conducteur, celles-ci se répartissent en surface.

Dans le cas d'un conducteur, électriquement neutre ou portant une charge surfacique, la densité volumique de courant s'écrit : $\overrightarrow{j}=\rho_{m}.\overrightarrow{v}$ et non : $\color {red}{\overrightarrow{j}=\rho.\overrightarrow{v}}$ .

Autre exemple : le plasma ; c'est un gaz formé d'ions positifs mobiles (densité volumique de charge : $\rho_{+}>0$ ) et d'électrons mobiles (densité volumique de charge : $\rho_{-}<0$ ); alors :

$\overrightarrow{j}=\rho_{+}.\overrightarrow{v_{+}}+\rho_{-}.\overrightarrow{v_{-}}$ .