Niveau maths sup

Pression dans l'atmosphère (pesanteur non uniforme)

Posté par
nachding 22-04-17 à 15:40

Bonjour,
Voici l'énoncé de mon exercice :

Dans l'atmosphère, on assimile l'air à un gaz parfait. On considère que la température est uniforme et le champ de pesanteur est de la forme $g(z) = go.\frac{Rt²}{(Rt+z)²}$ .
a) Établir la loi P(z)
b) A l'aide d'un développement limité au second ordre en z/Rt, établir l'expression de P(z)

Voilà ce que j'ai fait :

On sait qu'on a : $\frac{dP}{dz}=-\rho g(z)$
Donc en séparant les variables, en mettant l'expression de g(z), et en utilisant PV =nRT :
$\frac{1}{P}dP=-\frac{Mair.go}{RT}.\frac{Rt²}{(Rt+z)²}dz$
Ce que je ne comprends pas est que je peux directement intégrer cette expression pour trouver P(z) non ? On aurait (si je ne me suis pas trompé) :

$ln(\frac{P}{Po}) = \frac{Mair.go.Rt²}{RT}.(\frac{1}{Rt+z}-\frac{1}{Rt})$

Du coup je ne vois pas à quel moment utiliser le développement limité... Me suis-je trompé quelque-part ?

Merci d'avance !

Posté par re : Pression dans l'atmosphère (pesanteur non uniforme) 22-04-17 à 23:35

Bonsoir
Ton calcul est correct et pourrait rester en l'état.
L'énoncé demande un développement limité simplificateur dans la mesure où z<<Rt. Méthode possible :

$(\frac{1}{Rt+z}-\frac{1}{Rt})=\frac{1}{R_{t}}.\left(\frac{1}{1+\frac{z}{R_{t}}}-1\right)$
Tu connais sûrement le développement limité de $\frac{1}{1+x}$ pour |x|<<1 :

$\frac{1}{1+x}=\left(1+x\right)^{-1}=1-x+x^{2}+o(x^{3})$

Puisque ici, $\frac{z}{R_{t}}\ll1$ ,un développement limité au second ordre conduit à :

$(\frac{1}{Rt+z}-\frac{1}{Rt})=\frac{1}{R_{t}}.\left(\frac{1}{1+\frac{z}{R_{t}}}-1\right)\approx\frac{1}{R_{t}}.\left(1-\frac{z}{R_{t}}+\frac{z^{2}}{R_{t}^{2}}-1\right)$
D'où l'expression simplifiée :

$\ln\left(\frac{P}{P_{0}}\right)\approx\frac{M_{air}\cdot g_{0}}{R\cdot T}\cdot\left(-z+\frac{z^{2}}{R_{t}}\right)$
On peut remarquer qu'un développement limité au premier ordre aurait conduit à la classique formule du « nivellement barométrique » obtenue en négligeant à la fois les variations de T et de g en fonction de z :

$P=P_{0}\cdot\exp\left(-\frac{M_{air}\cdot g_{0}\cdot z}{R\cdot T}\right)$

Remarque : cet exercice est intéressant du point de vue calcul mais physiquement inepte. Je m'explique. Pour les basses couches de l'atmosphère terrestre (troposphère) la température diminue avec l'altitude en moyenne de 6,5K par km. La valeur moyenne au sol étant de 288K, la diminution relative de température sur le premier kilomètre est ainsi de 2,26%. En utilisant l'expression de g en fonction de z, sachant que Rt=6378km, passer de z=0 à z=1km provoque une diminution relative de g de seulement 0,031% ! Il est donc physiquement absurde de tenir compte de la variation de g avec l'altitude tout en considérant l'atmosphère isotherme ! En général, au niveau (bac+1) on néglige les variations de g en fonction de z mais on pose T=(To-a.z ) avec : To=288K et a=6,5.10^-3K/m...

Posté par re : Pression dans l'atmosphère (pesanteur non uniforme) 23-04-17 à 09:54

D'accord merci, le développement limité permet juste de simplifier.
Merci pour ces précisions aussi !

Posté par re : Pression dans l'atmosphère (pesanteur non uniforme) 23-04-17 à 11:16

A ce propos, c'est justement la suite de l'exercice mais je suis bloqué pour intégrer :
$\frac{1}{(Rt+z)²}.\frac{1}{T+az}$
J'ai pensé à une décomposition en éléments simples mais je sais pas faire lorsque le dénominateur est du 3e degré. Pourriez-vous m'aider ?

Posté par re : Pression dans l'atmosphère (pesanteur non uniforme) 24-04-17 à 23:18

Bonne idée ! J'ai répondu au nouveau message !

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