Bonjour
Tu n'as aucune intégrale à calculer.
Pour les deux faces horizontales, la pression est uniforme sur chaque face ; le calcul est donc immédiat.
Puisqu'on te demande uniquement la résultante des forces de pression, il n'est pas nécessaire de calculer la force exercée sur chaque face verticale. Il suffit de démontrer que la force exercée sur une face verticale est l'opposée de la force exercée sur la face verticale opposée.
Conclusion : la résultante est en fait la somme des deux forces exercées sur les deux faces horizontale. Tu devrais logiquement retrouver ainsi le théorème d'Archimède.

D'accord, ça fait sens mais à démontrer j'ai un peu de mal ! Un indice pour démarrer ?

Pour les deux faces horizontales, le résultat est immédiat car la pression exercée par le fluide est la même en tout  point. Une formule de la forme : F=P.S est donc applicable en l'adaptant éventuellement pour tenir compte des sens des forces.
Considère maintenant un point M quelconque d'une face entourée d'une surface élémentaire d'aire dS. Cet élément de surface est soumis à une force élémentaire  :


Considère maintenant le point M' à la même altitude situé sur la face opposée entouré d'une surface élémentaire de même aire dS. Cet élément de surface est soumis à une force élémentaire :


Puisque P_(M)=P_(M'), que peut-on dire de la somme vectorielle :

??? Aide-toi éventuellement de schémas pour bien visualiser les directions et sens des vecteurs. Sachant que ce raisonnement peut se généraliser à tout couple de points (M,M') appartenant aux faces verticales... Je te laisse conclure.

Ok! J'avais pas pensé à utiliser deux points de la même altitude pour le démontrer .. J'ai bien retrouvé le théorème !

Cependant dans l'air ? La pression est-elle considérée comme uniforme, en ne connaissant pas de valeur numérique de a difficile de conclure non ?

Dans ce cas, (avec des vecteurs que je ne sais pas mettre) ?

Je suis bien d'accord mais du coup vous ne répondez pas à mes questions ?

C'est vrai que je ne réponds pas "stricto sensu" à tes questions mais il me semble fournir suffisamment d'indications pour que tu puisses trouver toi-même les réponses.
Cependant : n'hésite pas à poser des questions complémentaires précises si tu le juges utile.

Oui, de part ce que vous m'avez dit, on peut négliger la poussée d'Archimède mais que pensez vous du but de l'exercice ? C'est de redémontrer la poussée d'Archimède dans l'air ou montrer qu'elle est négligeable pour un solide. Mon souci étant qu'en considérant la pression de l'air comme uniforme, la résultante des forces n'est en fait égale qu'au poids..

Le raisonnement le plus rigoureux dans le cas de l'air consiste à reproduire celui fait pour le solide pour aboutir à la formule de la poussée d'Archimède :

Sachant que le poids du solide vaut :



Tu as bien : F_A<<P si :

Il est aussi intéressant physiquement de remarquer que négliger la poussée d'Archimède revient à considérer que la pression est la même sur la face supérieure et sur la face inférieure, ce qui revient à négliger les variations de pression avec l'altitude sur la hauteur de l'objet mais cela est moins rigoureux : imagine un ballon rempli de dihydrogène de même hauteur que ton solide : il ne faudrait pas dans ce cas négliger la variation de pression avec l'altitude. Le raisonnement rigoureux consiste donc à comparer la masse volumique de l'air à celle de l'objet subissant la poussée d'Archimède.

Super !! Merci pour les précisions !

Bonne continuation !