Niveau master

Potentiel en créneaux dans un réseau

Posté par
jybb 15-11-22 à 20:46

Bonjour,

J'ai un problème de niveau M1 physique en physique du solide, voici l'énoncé :

Afin d'établir l'existence de bandes d'énergie alternativement permises et interdites qui apparaissent quand les électrons sont soumis à un potentiel périodique, nous nous proposons d'étudier le comportement d'un électron soumis au potentiel en créneaux créé par des N ions équidistants de a dans un réseau unidimensionnel.

L'énergie potentielle V(x) prend dans l'intervalle [-b,c], les valeurs successives
suivantes :

Région I : V(x) = 0, (0 ≤ x ≤ c)
Région II : V(x) = V0 , (-b ≤ x ≤ 0) avec a = b+c

(c.f. schéma joint)

1) Donner les solutions de l'équation de Schrödinger dans la région I puis dans la région II. On appellera A, B, C, et D les constantes d'intégration.
réponse :
Donc là j'ai posé l'équation : $\dfrac{\partial^2\psi(x)}{\partial x^2} + \dfrac{2m(E-V(x)}{\hbar^2}\psi(x) = 0$ ,
je résouds l'équa diff et j'obtiens :

région I : $\psi(x) = A\cos(\omega_0 x) + B\sin(\omega_0 x)$ , avec $\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2mE}{\hbar^2}}$

car $V(x) = 0$ en région I

région II : $\psi(x) = C\cos(\omega_0 x) + D\sin(\omega_0 x)$ , avec $\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}}$

car $V(x) = V_0$ en région II

2) Selon le théorème de Bloch, la fonction d'onde d'un électron soumis à un potentiel
périodique et obéissant aux conditions aux limites cycliques $\Psi(x) = \Psi(x+Na)$ , peut
se mettre sous la forme d'une onde de Bloch :

$\Psi(x) = u(x)e^{ikx}$ , avec $u(x) = u(x+a)$ où $a$ est la période du réseau
Donner en fonction de C et D l'expression de la fonction d'onde dans la région III (c ≤ x ≤ a) et préciser la séquence des valeurs discrètes que peut prendre le vecteur d'onde k.
réponse :
là j'ai posé le calcul $\psi(x) = C\cos(\omega_0 x) + D\sin(\omega_0 x) = \psi(x+Na) = C\cos(\omega_0 x + \omega_0Na) + D\sin(\omega_0 x + \omega_0Na)$ mais ça ne donne pas grand chose... je ne vois pas quoi faire.

Merci pour votre aide svp

Posté par re : Potentiel en créneaux dans un réseau 15-11-22 à 20:47

le schéma ci-joint

Potentiel en créneaux dans un réseau

Posté par re : Potentiel en créneaux dans un réseau 15-11-22 à 22:56

Bonsoir
Tu trouveras des renseignements utiles ici, en particulier au paragraphe : "Potentiel périodique : bande d'énergie, métal, isolant, semi-conducteur".

Ici également, à partir de la planche 108 :

Posté par re : Potentiel en créneaux dans un réseau 15-11-22 à 23:43

Bonsoir,

Effectivement ça va bien m'aider merci .

Si possible je profite pour poser deux questions en lien avec le chapitre mais qui me dérangent un peu :

- je comprends les notions de période, longueur d'onde, fréquence, phase, déphasage... mais "vecteur d'onde", j'ai du mal à comprendre ce qu'il représente pour l'onde ?

- des fois les solutions de l'équation différentielle : $\dfrac{\partial^2\psi(x)}{\partial x^2} + \omega_0^2\psi(x) = 0$ sont écrits de la forme :
$\psi(x) = A\cos(\omega_0 x) + B\sin(\omega_0 x)$
mais des fois on voit écrit :
$\psi(x) = Ae^{i\omega_0 x} + Be^{-i\omega_0 x}$ (si on développe les exp en cos et sin, ça fait qu'une des constantes est complexe)
ou encore des fois on voit :
$\psi(x) = Ae^{i\omega_0 x} + Be^{i\omega_0 x}$

Le signe des exponentielles n'a donc pas d'importance ? Je comprends pas trop.

Posté par re : Potentiel en créneaux dans un réseau 16-11-22 à 10:46

Je reprends les « bases » sur la propagation sans amortissement d'une onde sinusoïdale dans le sens positif des abscisses. Le signal à l'abscisse « x » est le même que le signal à l'origine du repère mais en retard temporel de x/V où V est la célérité ou vitesse de phase.

$s_{(t,x)}=S_{max}.\cos\left[\omega.\left(t-\frac{x}{V}\right)\right]=S_{max}.\cos\left(\frac{2\pi}{T}t-\frac{2\pi}{V.T}x\right)$

La longueur d'onde est :

$\lambda=V.T$

donc :

$s_{(t,x)}=S_{max}.\cos\left(\frac{2\pi}{T}t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right)} \\$
Pour alléger les notations, on définit le vecteur d'onde $\overrightarrow{k}$ comme un vecteur ayant la direction et le sens de propagation et la norme : $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ , ce qui permet d'écrire le signal sous la forme :

$s_{(t,x)}=S_{max}.\cos\left(\omega.t-k.x\right)$

Bien sûr, en fonction de la situation, on peut utiliser les complexes associés...
Ensuite : suivant les notations choisies, les constantes n'ont pas nécessairement les mêmes valeurs.