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POTENTIEL ELECTROSTATIQUE D'UNE SPHERE LORSQUE r<R

Posté par
Z3pro974 17-11-11 à 16:44

J'ai un souci pour comprendre le calcul du potentiel électrostatique V(M) d'une sphère de rayon R de centre O lorsqu'un point M est situé à une distance OM=r tel que r<R
Je marque ci dessous ce que j'ai compris du cours et j'écris en \red rouge les passages où je bloque:
D'après mon cours, \large Q= \rho . \frac{4.\pi {\red R}^3}{3.\epsilon_0}

Je choisis comme surface de Gauss la sphère de rayon r et d'aire S=4. \pi. {\red r}^2

Puisque r<R alors la charge intérieure est \large Q_{int} = \rho . \frac{4. \pi. {\red r}^3}{3. \epsilon_0}

Ensuite avec le théorème de Gauss qui dit \large \int \int \vec{E}.\vec{dS} = \frac{Q_{int}} {\epsilon_0}   j'obtiens  \large \vec{E} = \frac{\rho .r}{3. \epsilon_0} \vec{u_r}

Par définition, \vec{E}=-\overline{grad} V \Longrightarrow dV=- \vec{E}.\vec{dl}

Soit \large dV = - \frac{\rho .r}{3. \epsilon_0} \vec{u_r} . \vec{dl}

Dans le cours j'ai \large \vec{dl} = dr. \vec{u_r} + r.d \vec{u_r}

D'où \large dV = - \frac{\rho .r}{3. \epsilon_0} \vec{u_r} . (dr. \vec{u_r} + r.d \vec{u_r})

A partir de là je suppose que \large dV = -\frac{\rho .r}{3 \epsilon_0} \red [ dr (\vec{u_r}.\vec{u_r}) + r (d\vec{u_r}.\vec{u_r} ]

Et je suppose également que \red (\vec{u_r}.\vec{u_r})=1 et que \red (d\vec{u_r}.\vec{u_r})=0 car c'est un produit scalaire de vecteurs ?

Ce qui me permets de retomber sur mes pattes par rapport au cours en disant que \large dV = - \frac{\rho .r}{3 \epsilon_0} .dr

Ensuite, pour le calcul du potentiel électrostatique total V(M), je dis que c'est la somme de toute les contributions dV sur toute la surface de la sphère de rayon r
D'où \large V(M)=\int -\frac{\rho .r}{3 \epsilon_0} .dr \large V(M)=-\frac{\rho}{3 \epsilon_0} \int r.dr \large V(M)=-\frac{\rho.r^2}{6 \epsilon_0} +cte

Petite différence, dans le cours il ne prennent pas l'expression \large Q= \frac{4. \pi. {\red R}^3.\rho}{3} et le laissent tel quel

Ils obtiennent alors \large V(M)=- \frac{Q.r^2}{8.\pi.\epsilon_0.R^3} +cte

A partir de ce moment là, il faut déterminer la constante et je ne comprends pas la démonstration du cours qui dit :
La constante est déterminée par continuité du potentiel pour r=R (Ca, ça va, mais c'est après...)

\large V(R){\red = \frac{Q}{4.\pi.\epsilon_0.R}} = -\frac{Q.R^2}{8.\pi.\epsilon_0.R^3}+cte
Ici je ne comprends pas d'où vient le 1er membre de cette égalité?
J'ai un doute également à savoir si Q représente la charge de la sphère de rayon r ou de rayon R ?

Et là... C'est le drame...
Ce qui donne \large \red cte = \frac{Q}{4. \pi .\epsilon_0 .R} + \frac{Q}{8. \pi .\epsilon_0 .R} = \frac{3Q}{8. \pi .\epsilon_0 .R}

Soit \large \red V(M) = - \frac{Q.r^2} {8. \pi .\epsilon .R^3} = \frac{Q}{8. \pi .\epsilon .R} (\frac{r^2}{R^2}+3)

Je ne comprends absolument rien.
J'ai tenté de refaire les calculs mais je m'emmêle avec V(R) et V(M) donc avec les 2 sphères de rayon r et R
J'avoue que dans le cas où r>R celà ne me pose pas de problème et avec le fil et le plan c'est un peu plus simple, mais là je m'embrouille grave!

Voilà, j'espère ne pas avoir été trop "lourd" dans l'écriture mais c'est le plus clair que je puisse faire.
Je vous souhaite une bonne soirée et j'attends de l'aide avec impatience pour pouvoir continuer§
Merci par avance!

Posté par
efpere : POTENTIEL ELECTROSTATIQUE D'UNE SPHERE LORSQUE r<R 17-11-11 à 17:47

salut
commençons par le commencement : tu ne comprends pas les r² et r^3 ?
pour la suite tu as raison pour les produits scalaires

Posté par
Z3pro974re : POTENTIEL ELECTROSTATIQUE D'UNE SPHERE LORSQUE r<R 17-11-11 à 19:09

Bonsoir efpe, merci de me répondre et désolé pour le retard,
Si, je pense comprendre
r2 qui vient de la surface de la sphère \large S_{sphère}=4 \pi r^2
et r3 qui vient du volume de la sphère \large V_{sphère}=\frac{4 \pi r^3}{3}

Posté par
efpere : POTENTIEL ELECTROSTATIQUE D'UNE SPHERE LORSQUE r<R 17-11-11 à 19:25

oui tout simplement

Posté par
Z3pro974re : POTENTIEL ELECTROSTATIQUE D'UNE SPHERE LORSQUE r<R 17-11-11 à 19:36

Cependant, le problème ne vient pas de là...
Merci pour les produits scalaires.
Ce que je ne comprends pas c'est l'histoire de V(R) et du calcul  de la constante

Posté par
efpere : POTENTIEL ELECTROSTATIQUE D'UNE SPHERE LORSQUE r<R 17-11-11 à 19:59

si je te dis que Q = 4/3 R^3 ça t'aide ?

Posté par
Z3pro974re : POTENTIEL ELECTROSTATIQUE D'UNE SPHERE LORSQUE r<R 17-11-11 à 20:26

A vrai dire pas trop...
C'est avec cette expression que je trouve \large V(M)=- \frac{\rho .r^2}{6. \epsilon_0}

Posté par
efpere : POTENTIEL ELECTROSTATIQUE D'UNE SPHERE LORSQUE r<R 17-11-11 à 20:44

ah je vois
j'ai passé un moment à chercher d'où vient le second membre de ton équation.

tu peux aller sur cette page :
http://b.louchart.free.fr/Enseignement_superieur/Classes_prepas/Sujets_prepas/Corriges_prepas/Fiches/02_E_Boule.pdf

mais ils passent par E d'abord

Posté par
Z3pro974re : POTENTIEL ELECTROSTATIQUE D'UNE SPHERE LORSQUE r<R 17-11-11 à 20:54

Tout à fait, ils passent par E et le théorème de Gauss pour trouver l'expression de V(M)
Mais si tu es d'accord avec moi, \large V(R)=\frac{Q}{4. \pi .\epsilon_0 .R} n'a aucun sens ?

Posté par
efpere : POTENTIEL ELECTROSTATIQUE D'UNE SPHERE LORSQUE r<R 17-11-11 à 20:56

non cette expression est juste, pourquoi n'aurait-elle aucun sens ?

Posté par
Z3pro974re : POTENTIEL ELECTROSTATIQUE D'UNE SPHERE LORSQUE r<R 17-11-11 à 21:02

En prenant \large Q= \rho . \frac{4. \pi . R^3}{3. \epsilon_0}
Je trouve \large V(R)= \frac{R^2 . \rho}{3. \red{\epsilon^2_0}}

Posté par
efpere : POTENTIEL ELECTROSTATIQUE D'UNE SPHERE LORSQUE r<R 17-11-11 à 21:07

ah non dans l'expression de Q il n'y a pas de o

Posté par
Z3pro974re : POTENTIEL ELECTROSTATIQUE D'UNE SPHERE LORSQUE r<R 17-11-11 à 21:16

D'aaaaaccord, en fait la 1ère formule que j'ai écrite tout en haut du topic est fausse !!!
Je sais pas du tout d'où je tire ça...
Tout le reste coule de source après...
On isole la constante et on la remplace dans l'expression de V(M) d'où le résultat final avec les 2 facteurs! Trop simple!

Posté par
efpere : POTENTIEL ELECTROSTATIQUE D'UNE SPHERE LORSQUE r<R 17-11-11 à 21:17

super alors ^^

Posté par
Z3pro974re : POTENTIEL ELECTROSTATIQUE D'UNE SPHERE LORSQUE r<R 17-11-11 à 21:22

Excellent et merci beaucoup!! Ca m'a pris toute une après-midi quand même!!
Super également le petit lien sur la page perso. En as-tu d'autres sur le programme de prépa (champ magnétostatique, induction, circuit linéaire en RSF, oscillateurs, ...) sous le coude car il est très bien fait!
Merci encore efpe et bonne soirée.

Posté par
efpere : POTENTIEL ELECTROSTATIQUE D'UNE SPHERE LORSQUE r<R 17-11-11 à 21:24

euh pas vraiment je l'ai trouvé en cherchant sur google !
bonne chance pour la suite

Posté par
Z3pro974re : POTENTIEL ELECTROSTATIQUE D'UNE SPHERE LORSQUE r<R 17-11-11 à 21:26

Ca marche et merci pour tout
Tcho...


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