Niveau maths spé

Potentiel de Yukawa (électrostatique)

Posté par
superjuju45 15-09-19 à 13:24

Bonjour, je bloque à la question c) l'exercice suivant (je ne suis de plus pas sur de ce qui précède) :

On considère un distribution de charges de symétrie sphérique autour d'un point O origine du repère. En un point M tel que OM=r, le potentiel électrostatique est donné par:

$V(M)=V(r)=\frac{q}{4\pi \epsilon _{0}r}e^{-\frac{r}{a}}$ q et a sont des constantes positives.

a) Donner les dimensions des constantes a et q.
b)Déterminer l'expression du champ électrostatique $\vec{E}(M)$ en tout point de l'espace. Donner des équivalents au champ $\vec{E}$ lorsque r tend vers 0 et vers l'infini. Conclusions.
c) Calculer les limites de la charge Q(r) lorsque r tend vers 0 et vers l'infini. Conclusions.
d) Calculer la charge volumique (r) en M ainsi que la charge diffuse Q_diff contenue dans une sphère de centre O et de rayon r sans l'opérateur laplacien.

J'ai trouvé que a est une distance et q une charge (a)).
$\vec{E}(M)=\vec{-grad}(V)$
et $\vec{E(M)}=\frac{q}{4\pi \epsilon _{0}r}[\frac{e^{-\frac{r}{a}}}{r}+ae^{\frac{-r}{a}}]\vec{u_{r}}$ .
$\vec{E}(M)\sim _{r->0}\frac{q}{4\pi \epsilon _{0}r²}$
et $\vec{E}(M)\sim _{r->0}\frac{qae^{-\frac{r}{a}}}{4\pi \epsilon _{0}r}$ (b) mais je ne sais pas quoi conclure et je ne vois pas du tout comment passer à une expression de Q(r).

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par re : Potentiel de Yukawa (électrostatique) 15-09-19 à 14:19

Bonjour
Une bonne habitude à prendre susceptible d'éviter de grosses erreurs sur un résultat littéral :
1° : vérifier l'homogénéité. Problème ici : entre crochets, tu additionnes une grandeur homogène à une distance à une grandeur homogène à l'inverse d'une distance ; nécessairement faux !
2° : vérifier le réalisme sur quelque(s) cas limite(s) simple(s). L'atome étant électriquement neutre, E doit tendre vers zéro quand r>>a ; pas de problème.

Posté par re : Potentiel de Yukawa (électrostatique) 15-09-19 à 21:36

Exact, d'après mon raisonnement , j'aurais du trouver
$\vec{E}(M)= \frac{q}{4\pi \epsilon _{0}r}[\frac{e^{-\frac{r}{a}}}{r}+\frac{e^{-\frac{r}{a}}}{a}]\vec{u_{r}}$
et du coup pour les équivalents c'est :
$\vec{E}(M)\sim _{r\rightarrow \infty }\frac{qe^{-\frac{r}{a}}}{4\pi a\epsilon _{0}r}$ et,
$\vec{E}(M)\sim _{r\rightarrow 0}\frac{q}{4\pi \epsilon _{0}r²}$ c'est ça ?
Et pour les conseils que tu donnes dans ton précédent message tu as complètement raison (en plus l'homogénéité c'est pas la première fois que je l'entends) mais j'ai trop l'esprit matheux

Posté par re : Potentiel de Yukawa (électrostatique) 15-09-19 à 22:14

OK ; bon courage pour la suite.

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