Niveau licence

poscillateur harmonique et notation de Dirac

Posté par
Jorg2 16-12-16 à 21:04

Bonsoir,

je planche sur un exercice assez basique de méca quantique, au bout d'une journée je pensais enfin avoir des résultats, qui finalement se contredisent. Pourriez-vous me dire m'expliquer ce qui ne va pas? Voici l'énoncé, suivi de ce que j'ai fait:

Déterminer l'état $\mid \phi \geq$ tel qu'il soit une superposition de deux états propres d'un oscillateur harmonique simple $\mid n> et \mid n'>$ , pour les quels $<n\mid aa^{+}\mid n> = 1 et <n'\mid aa^{+}\mid n'> = 3$ , en sorte que:
$1) <\phi \mid aa^{+}\mid \phi > = 1/2 \\ 2) <\phi \mid aa+a^{+}a^{+}\mid \phi > = 0$

Voici ce que j'ai fait:
Je cherche à déterminer mes constantes C1 et C2, n et n' dans la formule:

$\mid \phi > = C_{1} \mid n> + C_{2} \mid \phi >$

J'ai d'abord exploité les deux premières informations. Dans mon cours, j'ai une démonstration assez longue qui se conclut par:
$<n\mid aa^{+}\mid n> = (n+1) = 1 \Rightarrow n=1$

De même, j'obtiens n' = 2

Ensuite, j'exploite la condition 1).
N étant un observable, je peux écrire:
$<\phi \mid N^{+}\mid \phi > = <\phi \mid N\mid \phi > = n = 1/2$
Mais alors je suis en contradiction totale avec ce que j'ai obtenu au dessus.
Je n'arrive pas à travailler sur la condition 2, je ne comprends pas du tout son sens physique.

Merci pour votre aide!

Posté par re : poscillateur harmonique et notation de Dirac 17-12-16 à 11:47

Hello

$<n\mid aa^{+}\mid n> = \sqrt{n+1}<n\mid a\mid n+1> = (n+1) <n \mid n> = n+1$

ça, ça va

Ensuite   $(n+1) = 1 \Rightarrow n=1$ est plus "exotique"

$n' = 2$ ok

Ensuite, connaissant n et n' en écrivant

$\mid \phi > = C_{1} \mid n> + C_{2} \mid n' >$

Et en injectant dans 1) et 2)   les constantes devraient venir rapidement

Posté par re : poscillateur harmonique et notation de Dirac 17-12-16 à 11:51

Citation :
$<\phi \mid N^{+}\mid \phi > = <\phi \mid N\mid \phi > = n = 1/2$

euh ... peux tu détailler comment tu fais?

Posté par re : poscillateur harmonique et notation de Dirac 17-12-16 à 12:44

Bonjour!
Merci pour ta réponse!

Pour le début, en effet, c'était très exotique, je voulais écrire 0!
Je vais essayer d'injecter tout ça.

Pour la suite, je pense m'être un peu avancée. J'ai trouvé ceci dans mon cours (ça correspondrait à la partie introduction aux mathématiques des états quantiques):
" la valeur de l'opérateur A dans l'état $\mid \phi >$ est réelle:
$<\phi \mid A\mid \phi > = <\phi \mid A^{+}\mid \phi > = <\phi \mid A\mid \phi > = a$
avec a, la valeur attendue pour A dans cet état.
le premier terme porte une barre, mais je ne sais pas comment on la fait

En partant de l'exemple de A, j'ai utilisé la formule avec N, qui me semblait être aussi hermitien, et donc assimilable à A.

Posté par re : poscillateur harmonique et notation de Dirac 17-12-16 à 15:00

Hello

A auto-adjoint implique effectivement ( ...par définition)

$<\phi \mid A\mid \phi > = <\phi \mid A^{+}\mid \phi >$

Par contre

Citation :
la valeur de l'opérateur $A$ dans l'état $\mid \phi >$ est réelle

nécessite des conditions sur $\mid \phi >$ (ou sur $A$

ou sur $a$

, n'ayant pas accès à ton cours je n'exclus rien )

Posté par re : poscillateur harmonique et notation de Dirac 17-12-16 à 16:16

Ok, il doit s'agir d'un cas particulier, je demanderai au prof.
Par contre je bloque toujours au niveau de mes conditions.
J'ai:
$<(C_{1} <0 + C_{2} <2\mid) \mid a^{+}a\mid (\mid C_{1} \mid 0> + C_{2} \mid 2>)> = 1/2 \\ et \\ <(C_{1} <0 + C_{2} <2\mid) \mid aa+a^{+}a^{+}\mid (\mid C_{1} \mid 0> + C_{2} \mid 2>)>$

Mais je n'arrive pas à manipuler ces deux équations, surtout que je ne peux pas écrire mes opérateurs sous forme de N car ils ne sont pas dans le bon ordre...

Posté par re : poscillateur harmonique et notation de Dirac 17-12-16 à 19:51

Citation :
Ok, il doit s'agir d'un cas particulier, je demanderai au prof.

(opérateur hermitien -> valeur propre réelle)

Citation :
Ok, il doit s'agir d'un cas particulier, je demanderai au prof.

Ne pas hésiter à appliquer simplement les règles de l'algèbre linéaire, en tirant partie des propriétés des opérateurs création et annihilation (j'emploie ces mots juste pour dire qu'on fait de la physique

)

$a^{+}\mid n> = \sqrt{n+1}\mid n+1>$
$a \mid n> = \sqrt{n}\mid n-1>$

Je te laisse aussi méditer sur l'intérêt (en physique

) de l'opérateur numéro ...

Posté par re : poscillateur harmonique et notation de Dirac 18-12-16 à 19:04

Pas de nouvelle, bonne nouvelle?

Citation :
J'ai:
$<(C_{1} <0 + C_{2} <2\mid) \mid a^{+}a\mid (\mid C_{1} \mid 0> + C_{2} \mid 2>)> = 1/2 \\ \\ et \\ \\ <(C_{1} <0 + C_{2} <2\mid) \mid aa+a^{+}a^{+}\mid (\mid C_{1} \mid 0> + C_{2} \mid 2>)> = 0$

est un excellent début. Il suffit juste de développer en appliquant les règles de l'algèbre linéaire et de réduire en utilisant les propriétés des opérateurs $a$ et $a^+$ . Tu sonnes si besoin de détailler ce développement

Mais mon propos est ailleurs et il reboucle sur un précédent post ou tu devais déterminer la valeur moyenne de l'opérateur impulsion.

Je t'engage à établir les relations (si pas dans ton cours) qui relient les observables $X$ et $P$ à $a$ et $a^+$

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