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Niveau maths sup
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Portrait de phase

Posté par
Kai22
23-12-16 à 10:13

Bonjour.

J'ai une petite question : pour ce qui est des portraits de phase dans le cadre de l'étude de système du second ordre, on a pour le condensateur, pour un facteur de qualité Q>1/2 une spirale qui s'enroule autour de 0. Ça, j'ai compris pourquoi (on simule tantôt la charge, tantôt la décharge du condensateur).
En revanche, je ne vois pas l'explication pour Q<1/2 : on n'a pas de spirale, simplement une courbe qui joint la position de départ au point d'abscisse 0. Pouvez-vous m'expliquer ce qu'il se passe ?

Merci par avance.

Posté par
J-P
re : Portrait de phase 23-12-16 à 14:12

Si Q < 1/2, le système n'est pas oscillatoire.

Les solutions sont la somme de 2 exponentielles, x(t) = A.e^(-t/T1) + B.e^(-t/T2)
(T1 et T2 réels positifs)

et dx/dt = - (A/T1).e^(-t/T1)  - (B/T2).e^(-t/T2)

A et B sont des constantes réelles dépendant des conditions initiales.

Suivant ces conditions initiales,x(t) et la vitesse (dx/dy) ne changent jamais de signe (ou changent max 1 fois de signe au court du temps) et donc  pas de spirale autour de O.

Sauf distraction    

Posté par
Kai22
re : Portrait de phase 30-12-16 à 10:45

Merci !
Désolée de reprendre le sujet si tard après ta réponse mais je me demandais simplement à quoi cela correspondait par exemple pour un condensateur (si on se place selon l'approche électrocinétique).
La spirale est claire : elle correspond à la charge ou à la charge de celui-ci mais qu'en est-il pour Q<0,5 ?

Posté par
J-P
re : Portrait de phase 30-12-16 à 12:46

Exemple : Circuit RLC comme dessiné, u = Uo pour t < 0 et on ferme l'interrupteur à l'instant t = 0.

Cela donne l'équation différentielle d²i/dt² + (R/L).di/dt + i/(RC) = 0

On aura Q < 1/2 si  R.RacineCarrée(C/L)  > 1/2  

Prenons un exemple concret : R = 100 ohm, L = 10^-2 H et C = 10^-5 F

R.RacineCarrée(C/L) = 100 * RacCarrée(10^-3) = 3,16 qui est > 1/2 (et donc on est dans un cas où Q < 1/2)

Si on a (par exemple) U(0) = 0, ( et i(0) = 0 , à cause de la présence de L) , la résolution de l'équatyion différentielle donne :

i(t) = 1,29.10^-5 * (e^(-1127.t) - e^(-8873.t))

On peut donc déterminer i'(t) en dérivant.

i'(t) = 1,29.10^-5.(-1127.e^(-1127.t) + 8873.e^(-8873.t))

On peut alors tracer les graphes de i(t) et de i'(t) et en déduire le diagramme de phase ...

Les voici :

Portrait de phase

Pas de boucle autour de  O ... puisque i ne change jamais de signe ... donc impossible de passer à gauche de l'axe des ordonnées pour enrouler l'origine.

Sauf distraction  

Posté par
J-P
re : Portrait de phase 30-12-16 à 12:48

Dans mon message précédent, il faut lire :

...
Si on a (par exemple) U(0) = 10 V
...

Posté par
Kai22
re : Portrait de phase 30-12-16 à 19:05

D'accord, donc on raisonne ici sur l'intensité du courant.

Posté par
J-P
re : Portrait de phase 30-12-16 à 19:19

Tu peux aussi raisonner sur u(t) si tu veux.



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