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Pont de Nernst

Posté par
Thundder54 13-01-18 à 21:20

Bonjour,
J'ai un exercice sur les différents ponts (Nernst, Maxwell et Sauty).
J'ai tout à fait compris les deux derniers mais j'ai un peu de mal pour le pont de Nernst. Voici l'énoncé :

Soit un pont de Wheatstone alimenté par une tension alternative de fréquence $f=\frac{\omega }{2 \pi }$ .
On désigne Z1, Z2, Z3 et Z4 les impédances complexes des quatres branches AB, BC, CD et DA du pot. On dit que le pont est équilibré lorsque le courant dans le détecteur est nul.
L'impédance Z1 est constitué d'une capacité C1 en série avec une résistance R1 ; Z2 est constituée d'une capacité C2 en parallèle avec une résistance R2 ; Z3 est une résistance R3 ; Z4 est une résistance R4.
a. Montrer que l'équilibre du pont ne peut-être obtenu que pour une seule valeur $\omega_{0}$ de la pulsation $\omega_{0}$ .
J'ai donc tout d'abord exprimé les différentes impédances :
$Z_{1} = Z_{C1} +Z_{R1} = R_{1} - \frac{j}{C_{1} \omega }$
$Z_{2} = Z_{C2} // Z_{R2} = \frac{R_{2}}{1+ jR_{2}C_{2} \omega }$
$Z_{3} = R_{3}$
$Z_{4} = R_{4}$
Puis je suis parti de la condition d'équilibre, et j'ai remplacé :
$Z_{1} Z_{3} = Z_{2} Z_{4}\Leftrightarrow (R_{1} - \frac{j}{C_{1} \omega })R_{3} = \frac{R_{2}}{1+ jR_{2}C_{2} \omega }R_{4}\Leftrightarrow (R_{1}R_{3}-\frac{R_{3}j}{C_{1} \omega })(1+ jR_{2}C_{2} \omega )= R_{2}R_{4} \Leftrightarrow R_{1}R_{3}+jR_{1}R_{2}R_{3}C_{2}\omega - \frac{R_{3}j}{C_{1} \omega } - \frac{R_{3}j^{2}R_{2}C_{2}\omega}{C_{1} \omega }=R_{2}R_{4}$
Et je bloque à partir de là.
Je viens donc vers vous afin d'obtenir un peu de lumière, peut-être me suis-je trompé ?

Posté par re : Pont de Nernst 14-01-18 à 10:21

Bonjour,

sauf erreur de ma part, çà me paraît correct,

en égalant les parties réelles d'une part et imaginaires d'autres part,

on trouve $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}$

Posté par re : Pont de Nernst 14-01-18 à 11:34

Il n'y a donc pas d'erreur jusque ici, merci de cette première information Pirho.
Cependant, c'est l'étape entre celle que j'ai noté et la votre qui me pose problème. Je suis conscient que c'est purement calculatoire mais je ne sais pas, je bloque pour retomber sur votre résultat.
A-t-on bien cela ? Je n'arrive pas à manipuler la partie imaginaire...
Réel :
$R_{1}R_{3}=R_{2}R_{4}$
Imaginaire :
$R_{1}R_{2}R_{3}C_{2}\omega -\frac{R_{3}}{C_{1}\omega }-\frac{R_{3}R_{2}C_{2}}{C_{1}} = 0$
$\Leftrightarrow R_{1}R_{2}C_{2}\omega -\frac{1}{C_{1}\omega }-\frac{R_{2}C_{2}}{C_{1}} = 0$
$\Leftrightarrow R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}\omega -\frac{1}{\omega } - R_{2}C_{2} =0$

J'arrive ici pour l'instant.

Posté par re : Pont de Nernst 14-01-18 à 11:59

Je repars de la relation de ton 1er post et la met sous une forme plus adéquate.

R1R3 + R2R3C2/C1 + j(R1R2R3C2w - R3/(C1w)) = R2R4

On doit donc avoir :

R1R3 + R2R3C2/C1 = R2R4  (en égalant les parties réelles des 2 membres)
Et
R1R2R3C2w - R3/(C1w) = 0  (2) (en égalant les parties imaginaires des 2 membres)

(2) --> R1R2C2w = 1/(C1w)

w² = 1/(R1R2C1C2)

$\omega = \frac{1}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}$

On remarquera qu'il y a une autre condition que la valeur de w pour que le pont soit en équilibre...

Il faut aussi que R1R3 + R2R3C2/C1 = R2R4

C'est peut être l'objet de la question 2 non mise sur le site.

Sauf distraction.

Posté par re : Pont de Nernst 14-01-18 à 12:23

Merci de ta réponse J-P.
Je comprends pourquoi j'avais du mal à égaler les parties.
En effet, j'ai confondu le nombre j complexe avec l'écriture j, qui en physique remplace le i mathématiques.
En effet, j² = 1/j et je me retrouvais avec un autre terme imaginaire. Alors qu'ici, on avait j²=-1.
Merci beaucoup en tout cas et oui, une autre question arrive après , qui est la suivante :
b. On choisit R1=R2=R et C1=C2=C. Montrer que ce pont permet de mesurer la fréquence f de la tension alternative.

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