Bonjour,

Je souhaite résoudre un exercice, mais je ne suis pas sûr de la méthode ni du résultat.

Voici l'énoncé:


1) Un objet ponctuel est assujeti à se trouver dans le plan xOy; La densité de probabilité (x,y) pour qu'il soit situé au point M, est nulle en dehors du domaine x²+y²<1, et uniforme sur ce domaine.

a) Calculer la probabilité de trouver l'objet à une distance de l'origine comprise entre r et r+dr

b) La probabilité que l'angle entre la droite OM de l'axe soit compris entre et .

c) On considère un oscillateur harmonique  classique harmonique à une dimension. sa position est x=Acos(t+), d'amplitude A fixée et de phase aléatoire, toutes les valeurs entre 0 et 2 étant probable. Trouver la probabilité W(x)dx, pour que à l'instant t, l'oscillateur se troouve en un point d'abscisse comprise entre x et dx.



En ce qui concerne a) et b), je considère la densité de probabilité comme la fonction définie par f(x,y)=x²+y[². Je procède au changement de variable en utilisant le Jacobien, j'obtiens:

= .

Mais comme on me demande la probabilité pour r et séparement je ne pense pas que le résultat soit juste.


Pour le c), je connais le principe ergodique pour calculer , mais je ne sais comment trouver la probabilité pour x.


Merci pour votre aide.