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physique, représentation matricielle d opérateurs
bonjour,
j'ai un petit pb de physique, on a commencé a voir cette partie en td, le cours aussi, mais on n'a pas terminé, et ce que l'on me demande dans le devoir, n'a pas encore été vu en cours ou en td,
pouvez vous m'aider ?
voila où ce situe mon pb:
Enoncé
On considère un système physique au pt de vue de la mecanique quantique.
le système est ds un état |
> qui est une combinaison linéaire des états de la base orthonormée de dim 3 et notée par |1>, |2> |3>
|> = 
|1> + 
|2> + 
|3>
On considère 2 opérateurs hermitiques notés A et B qui correspondent à 2 grandeurs physiques relatives au syqtème.
On donne l'action de ces opérateurs sur les vecterus de base :
A|1 = a|1>, A|2 = 0 , A|3 = -a|3>
B|1 = b|1>, B|2 = b|2>, B|3 = b|3>
questions
1) quelles sont les valeurs propres et les vecteurs propres associés aux opérateurs A et B?
donc la j'ai repondu
pour A :
a, 0, et -a pour les valeurs propres,
a|1> 0 et -a|3> pour les vecteurs propres
mais je ne sais pas si 0 est possible, en math ca ne l'est pas, mais en physique ? 
pour B :
b valeurs propres et b|1> b|2> b|3> vect propres
donner le degré des dégénérescences éventuelles
pour cette question la je sais pas du tt, pke on n'a jms vu ca encore ...
2) donner les représentations matricielle ds la base |1> |2> |3> pris ds cet ordre de A B et A²
bon ca a priori g bon :
A = a 0 0 B = b 0 0 A² = a² 0 0
0 0 0 0 b 0 0 0 0
0 0 -a 0 0 b 0 0 a²
3)normer l'état |> que l'on notera |_N>
puis trouver la valeur moyenne de
a) l'opérateur A
b) l'opératuer B
mon plus gros pb se situe sur normer |> , pke ben je ne sais pas ce qu'il faut faire!!
qun saurai ?
après je pense ke la a) et b) je saurai faire
4) le système physique se trouve à present dans l'état particulier:
|> = 1/2 |1> + 1/4 |2> + |3> ou est une constante
quelles sont les probabilités de mesurer les différentes valeurs de la grandeur physique associée à A ?
cette question je pense que je devrai y arriver, notre prof de td ns a donner une formules, mais je n'ai pas encore essayé, la je V le faire, je vous mets ce que je trouve des ke c fait!
merci bcp pour l'aide que vous pourrez m'apporter,
je vous mets juste qq "lexique" phys --> math:
|1> = (1,0,0) = e_1 |2> = (0,1,0)= e_2 |3> = (0,0,3) = e_3
bon voila j'ai trouvé la 4) je toruve :
P(a) = a²/4
P(0) = 0
p(-a) = (a)²
en utilisant :
la probabilité de mesurer a_ (valeurs propres de A) si le système est dans
un état |> est P(a_) = | <, r_|> |²
avec |, r_> vecteur propre associé a la valeurs propre a_
est ce bon ?
Salut Mauricette
J'ai pas encore eu le temps de regarder ton exo, j'passais juste mais j'reste pas. Cependant, j'ai lu que "0 ne pouvait pas être valeur propre en math" ce qui est à mon avis faux. 0 ne peut pas être vecteur propre (évidement, sinon ca fait un sacré spectre...) mais valeur propre oui. exemple, f associée à une matrice nulle. 0 est valeur propre, associée à tous les vecteurs de ton espaces de départ qui sont tous vecteurs propres.
Bon, j'regarde la suite dès qu j'trouve le temps !
Bon courage !
WS
PS : dans l'énoncé j'ai fait qq erreur d'écriture
ca n'est pas :
A|1 = a|1>, A|2 = 0 , A|3 = -a|3>
B|1 = b|1>, B|2 = b|2>, B|3 = b|3>
mais :
A|1> = a|1>, A|2> = 0 , A|3> = -a|3>
B|1> = b|1>, B|2> = b|2>, B|3> = b|3>
C'est l"histoire de l'ordi qui plante au moment ou j'veux envoyer ma réponse... Bref, je recommence ! 
Salut !
Merci pour la petite correction d'écriture, mais j'avais compris...
1-
Pour A
Les valeurs propres sont a, 0 et -a. Les espaces propres associés à ces valeurs propres (sous espaces vectoriels des vecteurs propres plus le vecteur nul, notés Ex pour une valeur propre x) sont :
Ea=vect( |1> ) E0=vect( |2> ) E(-a)=vect( |3> )
Pour B
Les valeurs propres sont b, et c'est tout. La multiplicité de cette valeur propre est 3. On a E3=vect( |1> , |2> , |3> )
Pour le degré de dégénérescence, j'avoue, je ne sais pas ce que c'est. Mais je suppose qu'il s'agit de savoir si le derteminant de la matrice associée est nul (système dégénéré ?!?) et le degré de dégénérescence serait alors la dimension du sous espace propre associé à la valeur propre 0, c'est à dire dim( E0 ). Dans ce cas, l'opérateur A seul est dégénéré, et sa dégénérescence est 1. Mais bon, j'suis pas sur de mon coup sur ce point là.
2-
A = a 0 0 B = b 0 0 A² = a² 0 0
0 0 0 0 b 0 0 0 0
0 0 -a 0 0 b 0 0 a²
Donc là, j'suis tout à fait d'accord avec toi ! 
3-
Ben, pour normer |> = |1> + |2> + |3> tu commences par calculer la norme de |>, ce qui n'est pas trop dur puisque tu es dans une base orthonormée. Cette norme, notée N, vaut :
N()=
Tu as alors |_N> = (/N)|1> + (/N)|2> + (/N)|3>.
Si tu calcules la norme de |_N>, tu trouves bien 1.
Pour les valeurs moyennes, j'te laisse les chercher, ainsi que tu le proposes...
4-
Ben, pareil, si tu dois pouvoir y arriver ! N'hésite pas à me proposer ce que tu as trouvé, j'te dirais si j'aurais fait ca ou pas !
Voilà, j'espère que j'ai pas dit trop de c********, si jamais j'ai fait des erreurs, n'hésite pas à me les signaler !
Bon courage pour la suite ! @++
bonjour,
et merci bcp d'avoir repondu 
je ne comprend pas pk tu mets |2> comme vercteur propre de 0 pour A
pour les autres c'est compris, c vrai que c'était stupide de laisser les constantes devant!!
sinon je pense que le degré de degenerecence ca doit bien être un truc ds ce genre la!
pour la 3) je ne comprend pas comment tu trouve 1 pour la norme ...
en fait je ne comprend pas non plus comment tu trouve (/N) |1> + (/N) |2> + (/N |3>
la question 4) j'ai essayé d ela faire hier, k'ai mis mes reponses plus haut ... cel est til juste ?
merci encore!
Salut !
Alors, soit f un endomorphisme. La definition d'une valeur propre, c'est : x est valeur propre si et seulement si il existe un vecteur non nul v tel que f(v)=x*v. Donc s'il existe un vecteur w non nul tel que f(w)=0=0*w, 0 est valeur propre. Tu vois mieux cette fois ?
Je met donc |2> comme vecteur propre pour A parce que A(|2> ) = 0 = 0*|2>
3-
Alors ce que j'ai dit pour la question 3 c'est :
"Ben, pour normer |> = |1> + |2> + |3> tu commences par calculer la norme de |>, ce qui n'est pas trop dur puisque tu es dans une base orthonormée. Cette norme, notée N, vaut :
N()=
Tu as alors |_N> = (/N)|1> + (/N)|2> + (/N)|3>.
Si tu calcules la norme de |_N>, tu trouves bien 1."
Je m'explique : Pour normer |>, la méthode est simple. Tu calcules la norme de |> comme tu l'aurais fait pour n'importe quel vecteur.
En effet, si tu as un vecteur v(x,y,z), v=x |1> + y |2> + z |3>, sa norme N(v) c'est bien :
N(v)=. Et ben là, tu fais pareil, la norme de |
> = |1> + |2> + |3> c'est bien N()=.
Si jusque là ca va, pour normer un vecteur, tu le divise par sa norme. En effet, si la norme de v est N(v), la norme de (1/N(v))*v, c'est (1/N(v))* N(v) = 1. Si tu préfères, ca donne :
Si v(x,y,z), (1/N(v))*v = ( x/(N(v)) , y/(N(v)) , z/(N(v)) )
On note ce vecteur v_N (confère énoncé)
la norme du vecteur v_N c'est :
N(v_N) =
N(v_N) = (1/N(v))*=(1/N(v))*N(v)=1.
Tu comprends mieux ?
Bref, quand tu divises |> par sa norme, tu obtiens |_N>, qui est bien de norme 1.
"en fait je ne comprend pas non plus comment tu trouve (/N) |1> + (/N) |2> + (/N |3> " Et ben, je fais exactement ce que je t'explique au dessus ! S'il faut que j'te réexplique encore, je le ferrais calmement, en Latex, pour que ca soit vraiment clair ! Parce que là, j't'accorde que c'est pas facile à lire !
Pour le 4, j'te dis tout à l'heure, là faut que je laisse mon poste désolé.
Bon courage surtout !
WS
bonjour Zenon!!
merci bcp vraiment!!
ca ne sera pas la peine de me reexpliquer! j'ai compris !! 
merci bcp bcp!!
@ tte!
mauricette
donc en fait si on résume les choses que je n'avais pas bien comprises :
* il ya degeneresence qd 0 est valeur propre, et le degré de degenerescence est le nb de fois que 0 est valeur propre
* |_N> = /
(²+²+²) |1> + /(²+²+²) |2> + /(²+²+²) |3>
pour les norme je trouve :
< A > = a*²/(²+²+²) - a*²/(²+²+²)
< B > = b*²/(²+²+²) + b*²/(²+²+²) + b*²/(²+²+²)
c bon ?
Salut !
Désolé pour n'avoir pas répondu plus tôt, mais j'suis un peu pris en ce moment...
Alors, pour les valeurs moyennes... Au moins, c'est homogène ce que tu proposes. J'vois pas pourquoi ca ne serait pas bon, donc j'serais assez pour dire que je suis d'accord. Mais en même temps, j'peux rien t'assurer... désolé.
Y'a peut-être moyen de simplifier un peu la valeur moyenne de B puisque ton expression donne directement < B > = b... à peine plus simple
Bref, s'il faut trancher, je dis que je suis d'accord, n'ayant de toute façon rien de mieux à te proposer lol
Bonne après-midi !
WS
en fait je ne sais pas si ca serai :
P(a) = a²/4
P(0) = 0
p(-a) = (a)²
ou
P(a) = a/2
P(0) = 0
p(-a) = (a)
Salut !
Désolé, j'avais oublié cette question !
Simplement, j'aurais une petite question quand à ton message posté le 14/05/2005 à 17:47, je ne comprend pas la méthode que te donne ta prof, pour calculer la probabilité, c'est un produit scalaire ? Ou |> d'un vecteur propre ? Parce que là, le vecteur est devant ? En effet, l'écriture EXACTE de ton vecteur propre n'apparait pas dans la formule, et je suis un peu perdu... Pour le reste, ca a pourtant l'air simple, et je pense que si c'est juste un problème d'écriture, y'aura pas de problème pour te répondre !
WS
hum ... sachant que en fait ... vu ke les vect propre ne st plus a|1> et a|3> j'hesite entre :
P(a) = 1/4
P(0) = 0
p(-a) = ()²
et
P(a) = 1/2
P(0) = 0
p(-a) =
euh ...
ben franchement je ne sais pas .. moi j'ai pris ca pour un produit scalaire du vecteur propre avec phi ... ca me semble plus logik vu kon cherche un nb ...
mais je ne peux pas t'en dire plus, j'ai regardé il n'ya rien de plrecisé ... :s
Salut !
Hormis le fait que j'aurais plutôt mis un gamma et pas un alpha, je n'ai toujours pas bien compris la definition de ta prof.
Produit scalaire ? Norme ? Que faut-il domprendre ?
WS
lol ouiup c un gamma !
euh ben je te mets la def totale :
a_ st les vap de A
la probabilité de mesurer a_ si le système ets ds un état |> est :
P(a_) = (somme de r_ = 1 à n_ de) | <,r_|> |²
avec |,r_> vect propre de A associé à a_ et n_ le nb de vecteur propre associé a a_
je ne sais pas si ca t'eclaire :s
Donc moi j'aurais dit, au vu de la formule que tu me donnes et pour que ca colle au mieux...
1/4 0 et alpha^2
Cependant, c'est homogène à rien ca, enfin, pas trop à ce à quoi on s'attend non ?
Bref, j'reste perplexe avec ta formule. J'essairai de voir ca un peu mieux... parce que là... Ca m'ennuie qu'il n'y ai pas de produit scalaire clairement énoncé, alors que ca semble tout de même être un peu ca... Enfin...
WS
euh, attend, j'vois avec ton tout dernier message, paru pendant que j'voyais celui d'avant
Une minute !
WS
Bon, va pour la norme du produit scalaire.
Reste un problème, si c'est le produit scalaire, comme si N est vecteur propre, 10*N l'est tout autant, et pour la même valeur propre, on trouve une infinité de résultats différents pour P(1) P(0) et P(-1).
Bref, tout ca pour dire qu'arbitrairement, je norme les vecteurs propres, ce qui me semble par ailleurs un peu logique.
Je trouve alors :
On a trois valeurs propres, a, 0 et -a, toutes de multiplicité 1 pour A.
P(a)=1/4, P(0)=1/16 P(-1)=gamma^2 non ?
En même temps, j'suis pas puls sur que tout à l'heure, mais c'est ce que semble donner ta formule, si on norme les vecteurs propres.
Nouvelle question ? Faut-il aussi normer Psi ?
WS
oui, moi aussi j'verrais bien 1/16, comme tu vois...
WS
hum ...
franchement j'en sais trop rien ...
mais ca serai pt plus logique ... vu ke théorikement au niveau des probbilité, il faudrai que la somme soit 1 ... c pt mieux d'orthonomé ...
Salut !!!
Et ben,j'demande un peu autours de moi, j'y réfléchis, j'te dis si j'ai du nouveau.
C'est bien la problème de la somme des probabilités qui doit valoir 1 qui m'a fait penser à normer (tex]\psi[/tex], mais bon, ca n'est pas certain après.
Bref, j'vois ca, et j'te dis.
Bonne soirée !
WS
Rien à voir, mais tout de même... T'es en quelle classe pour avoir ce genre d'exercice ? (sauf si c'est trèsssssss indiscrêt hein ?)
WS
Mais c'est tout naturel !!!
Et puis, ca m'interesse !
WS
re!
après un nouvel amphi et td, j'ai deux nouvelles info :
avant tte chose il faut tjrs normé |>
donc pour la dernière question, cT bien ca, il faut normer avant
et en cours on avu que ca n'était pas degenérée quand chak valeur propres n'avait qu'un vecteur propre associé, dc ici c B qui est degenrére et de degré 2 d'apres ce ke j'ai compris!
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