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[Physique] Mécanique & Freinage

Posté par
gui_tou 03-11-07 à 21:32

Bonsoir à tous

Sur un exercice pas vraiment dur, j'aimerais savoir si mon raisonnement se tient.

Citation :
Deux trains se suivent en ligne droite, à une distance 3$d, et roulent à la même vitesse constante V. A l'instant t=0, le premier train commence à freiner avec une décélération 3$a, le second train ne commence à freiner qu'au temps 3$t=\epsilon=2s avec une décélération 3$b.

Quelle constion doit satisfaire 3$d pour que le train s'arrête en arrière du premier ?


Pendant les 2 secondes, le premier train parcourt -2a+2V mètres. Si il n'avait pas freiné, il aurait parcouru 2V mètres. En freinant, il a donc perdu 2a mètres sur le premier train.
Ainsi, à 3$t=\epsilon=2s, le deuxième train n'a plus que \fbox{d-2a mètres de retard sur le premier.

A partir de 3$t=\epsilon=2s, on a les équations temporelles suivantes :

4$\bullet \magenta Premier train : 3$\rm \fbox{a_1(t)=-a\;\;v_1(t)=-at+V\;\;x_1(t)=-\fra{a}{2}t^2+Vt+x_0+d-2a


4$\bullet \magenta Deuxième train : 3$\rm \fbox{a_2(t)=-b\;\;v_2(t)=-bt+V\;\;x_2(t)=-\fra{b}{2}t^2+Vt+x_0 \\
On choisit x_0=0

La distance séparant les 2 trains est donnée par :
3$\rm d(t)=x_1(t)-x_2(t)\\d(t)=d+2a+\fra{t^2}{2}(b-a)

On cherche 3$t_a, temps aubout duquel le deuxième train est totalement arrêté.
On a 3$ \rm v_2(t_a)=0 \Leftrightarrow -bt_a+V=0 \Leftrightarrow t_a=\fra{V}{b}

A cette date 3$t_a, il faut que 3$d(t_a)>0 sous peine d'avoir quelques petits soucis

\large \rm d(t_a)>0 \Leftrightarrow d+2a+\fra{{t_a}^2}{2}(b-a)>0 \Leftrightarrow d+2a+\fra{V^2}{2b^2}(b-a)>0 \Leftrightarrow d>\fra{V^2}{2b^2}(a-b)-2a

Conclusion : \Large \red \rm \fbox{d > \fra{V^2}{2b^2}(a-b)-2a

---

Application numérique avec V=320km.h-1=88.9m.s-1,
a=1.1 m.s-2
et b=1,0 m.s-2

d > 393 mètres

Ca me paraît un peu court comme distance, non ?

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 03-11-07 à 21:35

Gare aux coquiiIIIiiilles.

Lire :

Citation :
Quelle condition doit satisfaire d ...


Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 03-11-07 à 22:11

Posté par
donaldosre : [Physique] Mécanique & Freinage 03-11-07 à 22:24

Je n'ai pas tout lu, mais dès le début, une distance de 2a me semble suspecte...

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 03-11-07 à 22:32

Bonsoir Donaldos

Voilà ce que j'ai fait pour en arriver là :

Durant ces 2 secondes, le mouvement du premier train peut être décrit par les équations temporelles suivantes :

3$\rm%20\fbox{a_1(t)=-a\;\;v_1(t)=-at+V\;\;x_1(t)=-\fra{a}{2}t^2+Vt+x_0

On choisit 3$x_0=0
Pendant les 2 secondes, il parcourt 3$x_1(2)-x_1(0) mètres

3$\rm x_1(2)-x_1(0)=-\fra{a}{2}2^2+2\times V-0=-2a+2V mètres.

Faux ?

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 03-11-07 à 22:38

Mon 2 du 2V représente des secondes, donc 2V en mètres. Idem pour le 2 du 2a, qui représente des secondes carrées.

Bien sûr on ne garde pas les unités de a et de V, juste les valeurs numériques.

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 03-11-07 à 23:07

En temps normal, s'il avait continué à vitesse constante, il aurait parcouru 2V mètres, donc en freinant, il a perdu 2V-(-2a+2V) soit 2a mètres sur le deuxième train.

Ainsi, à 3$t=\epsilon=2s, le deuxième train n'a plus que \large \rm \fbox{d-2a mètres de retard sur le premier.

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 03-11-07 à 23:22

S'il vous plaît

Posté par
donaldosre : [Physique] Mécanique & Freinage 03-11-07 à 23:54

Le raisonnement a l'air correct. Encore une fois je n'ai pas tout lu en détail, donc mes remarques n'ont peut-être pas lieu d'être:

1- il me semble que ta distance corrigé d-2a se transforme en d+2a dans la suie des calculs.
2- et une ramrque plus générale:  as-tu vérifié la validité des tes équations sur toute la durée du freinage du second train? (en particulier, le 1er train n'est-il pas déjà à l'arrêt lorsque le second s'arrête?)

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 00:00

1- Bien vu, merci On arrive à d > 397 mètres
2- Oui peut-être, et alors ? Tant que le second train ne lui rentre pas dedans ? Ce qui nous intérese c'est que d(t) > 0, non ?

Posté par
donaldosre : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 00:33

oui, mais ça veut dire que si x_1(t) devient constant pour t<t_a,a priori ton expression de d(x) cesse d'être valide à cet instant...

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 00:40

Oui mais x_1(t) n'est jamais constant avant t_a. Et pourquoi la formule ne serait-elle plus valide ?

Posté par
donaldosre : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 01:17

Si c'était le cas, conserver ton équation reviendrait à considérer que le premier train continue en marche-arrière après son arrêt...

Par ailleurs, il me semble que tu as corrigé l'écart de distance entre les 2 trains après 2s, mais pas l'écart de vitesse (celle du premier train n'étant plus égale à V)...

Désolé pour les remarques au compte-goutte,je finirai peut-être par lire l'exercice dans son intégralité...

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 12:46

Bonjour

Citation :
Par ailleurs, il me semble que tu as corrigé l'écart de distance entre les 2 trains après 2s, mais pas l'écart de vitesse (celle du premier train n'étant plus égale à V)...


Encore bien vu. Ca m'embête un peu, ça change pas mal de trucs ^^

Pendant les 2 secondes

3$\rm%20\fbox{a_1(t)=-a\;\;v_1(t)=-at+V\;\;x_1(t)=-\fra{a}{2}t^2+Vt+x_0

Donc \large \rm V(\epsilon)=-a\epsilon+V

On remplace cette expression dans l'autre :

4$\bullet%20\magenta Premier train : 3$\rm%20\fbox{a_1(t)=-a\;\;v_1(t)=-at+V-a\epsilon\;\;x_1(t)=-\fra{a}{2}t^2+(V-a\epsilon)t+x_0+d-2a

4$\bullet%20\magenta Second train : 3$\rm%20\fbox{a_2(t)=-b\;\;v_2(t)=-bt+V\;\;x_2(t)=-\fra{b}{2}t^2+Vt+x_0%20\\

x_0=0

La distance entre les deux trains est donnée par

3$\rm%20d(t)=x_1(t)-x_2(t)\\\fbox{d(t)=\fra{t^2}{2}(b-a)-a\epsilon t + d-2a (la formule cesse d'être valable pour 3$t > t_a

\large%20\rm%20d(t_a)%3E0%20\Leftrightarrow%20\fra{t_a^2}{2}(b-a)-a\epsilon t_a + d-2a%3E0%20\Leftrightarrow%20d%3E\fra{V^2}{2b^2}(a-b)+2a+a\epsilon \fra{V}{b}

\red \Large \fbox{\fbox{d%3E\fra{V^2}{2b^2}(a-b)+2a+a\epsilon \fra{V}{b}

Application numérique :

d > 593 mètres

--------

Là j'espère que c'est plus correct.

En tout cas merci Dolnaldos

Posté par
donaldosre : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 13:47

c'est mieux, seulement :

v_1(t)=0 \Rightarrow t = t_1=\frac V a - \epsilon
v_2(t)=0 \Rightarrow t = t_2=\frac V b           (ton t_a)

et comme a>b, il est certain que t_1<t_2 d'où:

x_1(t)=-\frac a 2 t^2 +(V-a\epsilon)t+x_0+d-2a \quad \text{pour}\quad t\leq t_1

x_1(t)=cste=x_1(t1)\quad \text{pour}\quad t_1 \leq t\leq t_2

d'où a priori 3 étapes à considérer:

\bullet 0\leq t \leq \epsilon     décélération du premier train uniquement

\bullet \epsilon \leq t \leq \epsilon + t_1   décélération des deux trains

\bullet \epsilon +t_1\leq t \leq \epsilon + t_2  décélération du second train uniquement

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 13:53

Ok ! J'ai compris ce que tu voulais dire : quand le premier est arrêté, alors d(t) est donnée par

Pour \epsilon%20+t_1\leq%20t%20\leq%20\epsilon%20+%20t_2

3$\rm \fbox{d(t)=x_1(t_1)-x_2(t)

Et j'y vais par 'pallier' : pour traiter le dernier cas j'ai besoin de x_1(t_1) donc de traiter les 2 autres, n'est-ce pas ?

OK merci je crois avoir tout compris

Je recalcule tout et je te dis ce que j'ai ce soir

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 18:08

Ah, les calculs sont bien moches

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 18:24

Pour la troisième étape, l'écart de vitesse associé à v_2(t) vaut quoi ? V ou 3$V-b\(\fra{V}{a}-\epsilon\) ?

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 18:28

Non je penche plutot pour 3$\fbox{V-b\(\fra{V}{a}-\epsilon\).

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 18:37

Raaaa mais non quel

Sinon on aurait plus le même t_2, ce qui serait absurde. C'est cool, je voulais me compliquer les calculs pour rien.

En mode monologue

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 19:05

Maintenant je trouve d > 4437 mètres. Ca me paraît mieux.

Donaldos

Posté par dellys (invité)re : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 19:21

Salut \red{Guillaume};

je comprends mieux ta méthode ..

w@lid

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 19:31

Non mais là, c'est vraiment horrible comme exo !

Posté par dellys (invité)re : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 19:31

Ouppsss...   désolé Guillaume ! j'ai posté au mauvais endroit !!

je ne voulais pas polluer Excuse moi

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 19:32

Tsss tu crois que je te vois pas venir Walid Tout ça pour gruger des posts

Posté par dellys (invité)re : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 19:33



Non, j'ai vu ce topic ou tu parles (presque) tout seul puis j'ai cru que j'ai posté dans l'autre topic tu vois ! je ne voulais pas polluer celui là

w@lid

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 21:43

Arf, la réponse est 537 mètres.

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 22:01

Je ne vois pas pourquoi

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 22:25

Apparament la formule là est fausse :

\LARGE \fbox{\rm d > V^2\(\fra{1}{2b}+\fra{a-b}{2a^2}\)-b\epsilon\(\fra{\epsilon}{2}-\fra{V}{a}\)

Posté par
donaldosre : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 23:18

Et si on changeait de tactique?

Comme tu le vois sur la figure, une approche géométrique peut être sympa pour une fois:

\int\limits_0^{t_2} \left(v_1(t)-v_2(t)\right) \rm{d}t=\left[x_1(t)-x_2(t)\right]^{t_2}_0 =d(t_2)-d_0

et donc

d(t_2)=d_0+\int\limits_0^{t_2} \left(v_1(t)-v_2(t)\right) \rm{d}t

soit:

d(t_2)=d_0+\int\limits_0^{t_2} v_1(t) \rm{d}t-\int\limits_0^{t_2} v_2(t) \rm{d}t

On se ramène à deux petits calculs d'aire plutôt légers...

Au final, on trouve d_0>536.9m...

Sauf énorme erreur de ma part...

[Physique] Mécanique & Freinage

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 04-11-07 à 23:27

Rien à redire, chapeau !

Mais je t'assure, je ne pense pas avoir commis d'énormité dans mes calculs, et on devrait, en toute logique, obtenir le même résultat

Posté par
gui_toure : [Physique] Mécanique & Freinage 06-11-07 à 21:50

Bonsoir Donaldos

Je t'annonce que j'ai trouvé la réponse Maple avait fait une erreur dans ses calculs

Merci encore Donaldos

Posté par dellys (invité)re : [Physique] Mécanique & Freinage 06-11-07 à 21:56

Citation :
Maple avait fait une erreur dans ses calculs



Elle est bonne celle là

w@lid


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