Bonjour, en fait, j'aurais besoin de vos aides pour m'aider à corriger mon partiel afin de m'entrainer pour mon examen.

Donc voici l'énoncé :



Les premières exo-planètes détectées (depuis 1995) avaient une masse voisine de celle de Jupiter. Les techniques de détection devenant de plus en plus performantes, on découvre de plus en plus de planètes peu massives: parmi les 550 exo-planètes détectées à ce jour, une trentaine ont une masse évaluée à moins de 10 fois la masse de la Terre. Quelques-unes sont situées dans ce qu'on appelle la “zone habitable”, c'est-à-dire que les conditions physiques qui règnent à leur surface sont semblables à celles de la Terre et permettraient le développement de formes de vie. Parmi celles-ci se trouve la planète Gliese 581g découverte en 2010. Quelques caractéristiques de cette planète (notée P) et de son étoile Gliese 581 (notée E) sont données dans le tableau ci-dessus. En fait six planètes ont été découvertes autour de cette étoile! C'est une étoile plus petite, plus froide et moins brillante que le soleil. Elle est située à une distance de 20.4 années-lumière et aucune image directe du système planétaire n'est alors possible (résolution spatiale des télescopes actuels insuffisante). Dans la partie I, nous nous intéresserons au système binaire étoile E - planète P supposé isolé (on oubliera les 5 autres planètes), puis dans la partie II, nous comparerons la planète P à la Terre afin de discuter la possibilité de vie sur la planète P. (Référence: Vogt etal., 2010, Astrophysical Journal, 723, 954).




Schéma représentant les positions et tailles comparées du système planétaire de Gliese 581 (6 planètes notées de (b) à (g)) et du système solaire en haut de la figure. La région bleue représente la “zone habitable”. L'échelle des abscisses est en unités astronomiques (u.a.).


I- Propriétés du système étoile-planète supposé isolé

Dans les questions de 1 à 7, nous négligerons la masse m de la planète P par rapport à celle M de son étoile E. On considère le référentiel R qui a pour origine le centre O de l'étoile E et dont les axes sont dirigés vers trois étoiles fixes lointaines. On note r la distance entre les centres de l'étoile E et de la planète P et ~v la vitesse de P dans R.

1. Justifier le caractère inertiel du référentiel R.

2. Écrire l'expression générale du moment cinétique orbital J~O de la planète par rapport à O,dans le référentiel R.

3. Exprimer la relation fondamentale de la dynamique et le théorème du moment cinétique appliqués à la planète P.

4. Quelles caractéristiques de la trajectoire de la planète P peut-on déduire du moment cinétique ?

5. En supposant que cette trajectoire est circulaire, justifier que le mouvement de la planète est uniforme et exprimer sa vitesse orbitale ~v. En déduire une relation entre la période orbitale T, la masse M et la distance r de l'étoile à la planète (3e loi de Kepler).

6. Applications numériques: à partir de la mesure de T et de l'évaluation de M (voir valeurs dans la table), calculer r. Exprimer r en unités astronomiques (u.a.).

7. Question hors barème. Comment la période T a-t-elle pu être évaluée? Les calculs précédents permettent-ils de connaître la masse m de la planète P ?
Dans la suite de cette partie, nous adoptons le formalisme du problème à deux corps, le système étoile-planète étant toujours supposé isolé et les mouvements de l'étoile et de la planète autour du centre de masse G sont supposés circulaires sauf à la question 12-e).

8. Rappeler la définition du référentiel barycentrique. Est-il inertiel dans le cas présent ?

9. Dans le référentiel barycentrique, pour résoudre la dynamique du système a deux corps on se servira de la méthode de la particule fictive. Définir les caractéristiques générales de cette particule (masse réduite , vecteurs position relative ~r et vitesse relative ~v_r).

10. Donner, sans les rétablir, les expressions du moment cinétique, de l�'énergie cinétique et de l�'énergie totale du système dans le référentiel barycentrique. Que peut-on dire de ces trois quantités pour le système étoile E - planète P considéré ? Justifier chacune des trois
réponses.

11. En utilisant la relation fondamentale de la dynamique, expliciter l�'expression de l'accélération de la particule fictive. En déduire l�'expression de la vitesse orbitale de la particule fictive en fonction des masses et de r, puis retrouver la relation dite de type "�3ème
loi de Kepler�", entre la période orbitale T, la séparation r et les masses m et M. Vérifier que pour m << M, on retrouve bien le résultat de la question 5.

12. On s�'intéresse au mouvement de l�'étoile, seul objet �"visible�". L�'obtention de spectres optiques de cette étoile a différentes phases de la période orbitale permet de déterminer la vitesse de rotation de l�'étoile autour de G, v_E, a partir du déplacement des raies spectrales.

(a) Comment s�'appelle l�'effet physique qui explique ce déplacement ? Préciser qualitativement le lien entre le déplacement des raies et le vecteur vitesse a un instant donne. Faire un schéma pour illustrer l�'explication.

(b) Établir la relation entre la vitesse orbitale v_E de l�'étoile, la période T, la masse M et le rapport des masses q = m/M. Pour cela on utilisera la définition du barycentre et les résultats de la question 11.

(c) Les valeurs de v_E et de m sont données dans la table. Vérifier numériquement la relation précédente.

(d) Question hors barème. En fait v^E n�'est connue qu�'a un facteur sin(i) prés ou i est l�'angle d�'inclinaison du système c�'est-a-dire l�'angle entre la ligne de visée et la normale au plan orbital. S�'agit-il alors d�'une limite inférieure ou supérieure de la masse ?

(e) Question hors barème. Dans cette question on envisage la possibilité que le mouvement de l�'étoile ne soit plus circulaire. Si on suppose une excentricité e de 0.05, calculer numériquement le rapport des vitesses a l�'apogée et au périgée. Sachant que les vitesses sont déterminées avec une précision maximale de 20 cm.s^-1, peut-on mettre en évidence une telle excentricité ?

II- Caractéristiques comparées des propriétés physiques de la planète P et de la Terre

1. On suppose que la planète Gliese 581g a la même composition rocheuse que la Terre et donc la même masse volumique. Calculer numériquement le rayon R_P de la planète et le champ de pesanteur g a sa surface. On exprimera explicitement le rayon R_P en fonction du rayon terrestre R_T et du rapport des masses m/M_T , ainsi que le champ de pesanteur g en fonction de celui qui règne a la surface de la Terre, g_T , et de ce même rapport.

2. Définir la vitesse de libération. L�'exprimer en fonction de celle de la Terre et du rapport m/MT . La calculer numériquement.

3. Si la rotation de la planète sur elle-même est synchrone avec la rotation orbitale (mêmes vitesses angulaires), comparer la vitesse de libération a la vitesse de rotation d�'un point situé a l�'équateur.

Sachant que l�'étoile E émet une puissance lumineuse L n fois plus faible que celle du Soleil, L_s, exprimer la densité de flux j_P reçue par la planète P (puissance reçue par unité de surface perpendiculaire aux rayons stellaires) en fonction de celle, j_T , reçue par la Terre en provenance du Soleil et calculer sa valeur numérique avec n = 74. Commenter le résultat.

5. En schématisant le spectre de la lumière émise par l�'étoile a un spectre monochromatique de fréquence , exprimer le nombre de photons qui arrivent a la latitude de l�'équateur par unité de temps et par unité de surface planétaire donc perpendiculaire aux rayons stellaires (on suppose un axe de rotation de la planète sur elle-même parallèle a l�'axe de rotation
orbital).

6. En supposant que l�'albédo A de la planète est nul (fraction de la lumière réfléchie par rapport à la lumière reçue), en déduire la pression de radiation exercée a l�'équateur. Calculer numériquement sa valeur et la comparer a la pression atmosphérique terrestre. Comment est modifié ce résultat pour un albédo de 1 ? On rappelle que le module de la quantité de
mouvement d�'un photon d�'énergie E est p = E/c.

7. On peut déduire une estimation de la température de surface de la planète par l�'expression suivante: T⁴ = L(1-A) / 16r²_S

ou _S représente la constante de Stefan. Calculer numériquement T pour A = 0. Comparer a la valeur obtenue avec le même albédo nul pour la Terre et commenter.

8. Les observations satellites actuelles ne permettent pas de savoir si une atmosphère est présente autour de cette planète, encore moins d�'en connaitre sa composition. Si une atmosphère est présente et si les molécules de cette atmosphère sont animées d�'un mouvement d�'agitation thermique a cette température T, exprimer littéralement et calculer numériquement la vitesse quadratique moyenne en supposant que l�'atmosphère a la même
composition que celle de la Terre (masse molaire: 29 g.mol.1). Une atmosphère peut-elle être alors effectivement présente ? Justifier la réponse.

Si la planète Gliese 581g est caractérisée par un albédo de 0.3 et si on tient compte de l�'existence d�'un effet de serre analogue a celui de l�'atmosphère terrestre, on évalue alors une température de surface de l�'ordre de 320 K, permettant la présence d�'océans d�'eau liquide et
ayant une forte probabilité d�'abriter différentes formes de vie.



P.S. : Je laisse en premier post que le sujet pour plus de lisibilité et en second post mes réponses.

Merci.