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physique du mouvement : le ressort

Posté par
alain83 28-03-09 à 15:54

Bonjour, je ne m'en sors pas avec un exercice sur un amortisseur de voiture.

On considère une masse ponctuelle M reliée à un axe de roue par un ressort vertical.

z_mest l'altitude du point M par rapport à un axe vertical d'origine O, point de contact de la roue avec le sol. La raideur du ressort est k, sa longueur à vise l_0, le diamètre de la roue R_0.

On compresse le ressort d'une hauteur h, sans vitesse initiale, quel est l'équation différentielle que doit vérifier z_M \ (t) ? Résoudre cette équation.

En appliquant la relation fondamentale de la dynamique j'obtiens : \frac{d^2 x}{dt^2^}\ = \ -g \ + \ k(R_0\ + \ l_0 \ - \ x)

Pour la solution, je sèche. Comment peut on d'abord simplifier l'équation sous réserve qu'elle soit juste.

Posté par
gui_toure : physique du mouvement : le ressort 28-03-09 à 16:30

Salut

écris :

3$\fr{d^2x}{dt^2}+kx=k(R_0+l_0)-g (E)

(E) est une équa diff du second ordre à coeffs constants. La solution générale est la somme d'une solution particulière et d'une solution de l'équation homogène.

ici, solution de l'homogène : 3$Acos(\sqrt kx)+B\sin(\sqrt kx)

solution particulière : 3$(R_0+l_0)-\fr{g}{k}

Posté par
alain83physique du mouvement : le ressort 28-03-09 à 17:38

Merci.

Posté par
alain83physique du mouvement : le ressort 29-03-09 à 10:27

Bonjour,
jai refait mes calculs. J'ai oublié un z_E \ = \ R_0 \ + \ l_0 \ - \frac{Mg}{k}lorsque la masse est à l'équilibre (poid et force de rappel).

J'ai oublié la masse en recopiant.

J'ai maintenant \frac{d^2 z}{dt^2}\ + \ \frac{k}{M} z \ = \ \frac{k}{M} z_E

Ce qui me donne comme solution générale : z(t) \ = \ e^{\sqrt{\frac{k}{M}} \ t} \ (A \ cos(\sqrt{\frac{k}{M}}t) + \ B \ sin(\sqrt{\frac{k}{M}}t)


A t = 0, z(t) = zE - h et \frac{dz}{dt} \ = \ 0

Donc A = zE - h

Et \frac{dz}{dt} \ = \ \sqrt{\frac{k}{M}} \ e^{\sqrt{\frac{k}{M}} \ t} \ (A \ cos(\sqrt{\frac{k}{M}}t) + \ B \ sin(\sqrt{\frac{k}{M}}t) \ + \ e^{\sqrt{\frac{k}{M}} \ t} \ (-A \ sin(\sqrt{\frac{k}{M}}t) + \ B \ cos(\sqrt{\frac{k}{M}}t)

= \ \sqrt{\frac{k}{M}} A \ + B

B \ = \ -\sqrt{\frac{k}{M}} (z_E \ - \ h)

A part que c'est faux le e^{\sqrt{\frac{k}{M}} n'a pas lieu d'être et que je ne sais pas pourquoi. J'ai effectivement quelques difficultés avec les équations différentielles.

Merci de votre aide.

Posté par
gui_toure : physique du mouvement : le ressort 29-03-09 à 13:03

Citation :
Ce qui me donne comme solution générale : ...


Pourquoi tu mets une exponentielle ?

Posté par
alain83physique du mouvement : le ressort 29-03-09 à 13:23

Il me semblait avois ça dans mes cours de maths. Tu veux dire que le résultat est celui que j'ai trouvé sans les exponentielles ?

Posté par
gui_toure : physique du mouvement : le ressort 29-03-09 à 15:53

Oui oui.

De façon général, les solutions d'une équation en 3${4$\fr{d^2 x}{dt^2 }}+\omega^2x=\rm{truc} sont : 3$x(t)=\rm{truc}+A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)

Posté par
alain83physique du mouvement : le ressort 29-03-09 à 16:04

Merci.

Posté par
alain83physique du mouvement : le ressort 29-03-09 à 16:34

Alors pour :

\frac{d^2 z}{dt^2}\ + \ \frac{k}{M} z \ = \ \frac{k}{M} z_E

Avec pour t = 0, z(t) = z_E - h \ et \ \frac{dz}{dt} \ = \ 0

Le résultat n'est pas ; z(t) = (z_E - h)cos(\sqrt{\frac{k}{M}}t) ?

Posté par
gui_toure : physique du mouvement : le ressort 29-03-09 à 19:06

j'aurais plutôt dit 3$z(t) = z_E - h\cos(\sqrt{\frac{k}{M}}t)

Posté par
alain83physique du mouvement : le ressort 29-03-09 à 19:37

Merci beaucoup, bonne soirée.


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