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Niveau terminale
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[Physique] Chute d'un corps

Posté par
infophile 04-02-07 à 23:23

Bonjour

J'ai trouvé un lien intéressant sur la chute des corps. Dans celui-ci on se propose de déterminer la vitesse maximale atteinte par un corps en chute libre en prenant en compte les frottements de l'air.

Comme dans le lien je pars de : \vec{P}+\vec{R}=m\vec{a}\Leftright mg-kv^2=m.\frac{dv}{dt}\Leftright \frac{dv}{dt}=g-\frac{k}{m}v^2

Voila ensuite ce que le lien propose :

Pour ma part je trouve la même chose en deux lignes à savoir :

Lorsque la vitesse maximale est atteinte (c'est à dire constante) on a \frac{dv}{dt}=0 d'où g-\frac{k}{m}v^2=0\Leftright v=\sqrt{\frac{mg}{k}}.

Où est l'erreur ?

Merci

Posté par
Youpire : [Physique] Chute d'un corps 04-02-07 à 23:31

Je vais peut-être dire une bétise  (j'ai l'habitude !)  mais la vitesse max n'est jamais atteinte puisque la vitesse a un comportement asymptotique à l'infini  ( Ceci dit j'ai pas plus réfléchi que ça au problème ...)

Posté par
Aiutore : [Physique] Chute d'un corps 04-02-07 à 23:37

Je ne vois pas d'erreur sauf que dans le lien ils cherchent une solution de l'équation différentielle
pour trouver l'expression de la vitesse à tout instant.

Toi tu ne recherches "que" la vitesse limite et en ne cherchant que cela ta methode est evidemment plus rapide.

Enfin c'est mon interprétation !

Posté par
ciocciure : [Physique] Chute d'un corps 04-02-07 à 23:39

moi je dirais (et c'est peut être une bêtise aussi)
que tu appliques un pincipe pour lequel la vitesse n'est pas constante puisqu'il y a une  accélération
donc si à la fin tu dis que l'accélération est nulle tout ton début de raisonnement est faux
je suis clair là ou bof??
c'est un pb de logique

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 11:21

Bonjour à tous

Moi je suis d'accord avec Aiuto, mais pas avec ciocciu et Youpi

Citation :
Je vais peut-être dire une bétise  (j'ai l'habitude !)  mais la vitesse max n'est jamais atteinte puisque la vitesse a un comportement asymptotique à l'infini  ( Ceci dit j'ai pas plus réfléchi que ça au problème ...)


Même si cette vitesse n'est jamais atteinte on peut la déterminer en tant que valeur théorique, comme on le fait pour le régime permanent atteint dans un circuit RC (ce qui revient à déterminer l'équation de la tangente horizontale).

Citation :
moi je dirais (et c'est peut être une bêtise aussi)
que tu appliques un pincipe pour lequel la vitesse n'est pas constante puisqu'il y a une  accélération
donc si à la fin tu dis que l'accélération est nulle tout ton début de raisonnement est faux
je suis clair là ou bof??
c'est un pb de logique


Dans l'équation : \frac{dv}{dt}=g-\frac{k}{m}v^2 la variable c'est la vitesse, et je ne vois pas pourquoi la dérivée ne peut pas être nulle.

Donc je pense que toute la démo qu'ils font dans le lien ne sert pas seulement à déterminer la vitesse limite mais surtout à trouver la vitesse à tout instant.

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 11:22

Je viens de trouver un lien où ils font un peu comme moi :

Posté par
ciocciure : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 11:45


en disant que dv/dt=0 le mvt est uniforme à vitesse constante
donc P+R=0 donc on retombe bien sur ce que tu dis
en fait je crois que je comprends pas où se situe exactement ton pb...:

dans le lien (le premier) que tu proposes ils étab lissent l'équation horaire complète alors que toi tu trouves directement la vitesse limite
mais heureusement vous trouvez tous pareil

Posté par
J-Pre : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 12:02

S'il s'agit de trouver la vitesse limite, il faut couper au cours comme infophile l'a fait.

Cette vitesse n'est jamais atteinte mais approchée de très près (et beaucoup plus vite qu'on pourrait le penser).

Cependant, si l'objet est laché de hauteur assez faible, la vitesse limite ne sera pas pratiquement atteinte et alors,  si on veut connaître la vitesse d'arrivée au sol de l'objet, plus question de "couper au court", il faut résoudre l'équation différentielle,

L'équation n'est pas très difficile à manipuler, par contre évaluer la valeur de k dans un problème réel donné n'est pas si évident.
Et si on veut être vicieux, k dépend de la forme de l'objet mais aussi de la masse volumique de l'air (qui varie avec l'altitude) et donc k n'est pas constant ...

Mais alors, cela devient de la torture.

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 12:21

Bonjour J-P

Je vais essayer de résoudre l'équation différentielle sans faire comme ils l'ont fait dans le lien avec le pourcentage mais en exprimant la vitesse en fonction du temps (et en considérant k constant ).

Je vous tiens au courant.

Merci

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 17:13

En fait j'ai un léger problème : l'équation différentielle n'est pas linéaire . Est-ce qu'il faut que je me renseigne sur les équations de Riccati ?

Merci

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 17:47

Dis voir J-P cette équation est abordable en Terminale ?

Posté par
J-Pre : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 18:38

dv/dt = g - (k/m)v²

dv/(g - (k/m)v²) = dt

dv/[(Vg - V(k/m)v)(Vg + V(k/m)v)] = dt (V pour racine carrée)

1/(Vg - V(k/m)v)(Vg + V(k/m)v)] = (1/(2g)).[1/(1 - V(k/(mg))v) + 1/(1 + V(k/(mg))v)]

Et on arrive à :

\frac{1}{2g} [\int \frac{dv}{1-\sqrt{\frac{k}{mg}}v} + \int \frac{dv}{1+\sqrt{\frac{k}{mg}} v}] = \int dt

\frac{1}{2g}.ln|\frac{1+\sqrt{\frac{k}{mg}}v}{1-\sqrt{\frac{k}{mg}}v}| = t + K

Si v = 0 en t = 0 --> K = 0

\frac{1}{2g}.ln|\frac{1+\sqrt{\frac{k}{mg}}v}{1-\sqrt{\frac{k}{mg}}v}| = t

ln|\frac{1+\sqrt{\frac{k}{mg}}}{1-\sqrt{\frac{k}{mg}}}| = \sqrt{2g} t

\frac{1+\sqrt{\frac{k}{mg}}v}{1-\sqrt{\frac{k}{mg}}v} = e^{\sqrt{2g} t}

Qu'on met facilement sous la forme v = f(t) ...
-----
Attention pas vérifié.

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 18:54

Merci J-P

Pour le v qui disparaît avant dernière ligne c'est surement un oubli.

En revanche d'où sort le \sqrt{2g} ?

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 19:03

Si il n'y a pas de coquilles je trouve :

4$ v(t)=\frac{e^{\sqrt{2g}t}-\sqrt{\frac{k}{mg}}}{e^{\sqrt{2g}t}.\sqrt{\frac{k}{mg}}+\sqrt{\frac{k}{mg}}}

On peut surement simplifier mais j'attends que tu répondes à mes questions

Encore merci !

Posté par
J-Pre : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 19:06

Il fallait lire:

ln|\frac{1+\sqrt{\frac{k}{mg}}v}{1-\sqrt{\frac{k}{mg}}v}| = 2gt

...

Toujours sans relecture.

Posté par
J-Pre : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 19:11

Relis quant même bien le tout, car le machin ne semble pas homogène au point de vue unités.

Il y a peut être encore une petite erreur quelque part.

Posté par
J-Pre : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 19:14

Effectivement, il faut sortir un facteur V(k/mg) (ou son inverse) lorsqu'on intègre.

C'est sans difficulté.

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 19:15

Oui je suis en train de relire, déjà la limite en 4$ \red +\infty est bien 4$ \sqrt{\frac{mg}{k}}

Pour être sûr de la formule je vais essayer de faire le lien avec le lien suivant : .

Mais il n'y a pas de raisons que ça ne fonctionne pas

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 19:17

Oui il faut sortir l'inverse je viens de voir ça

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 19:19

Bon je mettrais tout ceci au propre quand j'aurais un moment et je te tiens au courant en cas de problème, merci à toi d'être toujours là pour répondre à mes questions de physique

Bonne soirée

Un DM d'histoire à faire, nettement moins drôle...

Posté par
J-Pre : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 19:21

\frac{\sqrt{mg}}{2g\sqrt{k}}.ln|\frac{1+\sqrt{\frac{k}{mg}}v}{1-\sqrt{\frac{k}{mg}}v}| = t + K

\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{kg}}.ln|\frac{1+\sqrt{\frac{k}{mg}}v}{1-\sqrt{\frac{k}{mg}}v}| = t + K

...

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 19:28

Oui donc dans ce cas j'aboutit à :

4$%20v(t)=\frac{e^{\sqrt{\frac{kg}{m}}2t}-\sqrt{\frac{k}{mg}}}{e^{\sqrt{\frac{kg}{m}}2t}.\sqrt{\frac{k}{mg}}+\sqrt{\frac{k}{mg}}}

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 19:50

J'ai un peu de mal avec l'analyse dimensionnelle.

Si je pose \large K=\sqrt{\frac{mg}{k}} alors on a :

4$ v(t)=\frac{e^{\frac{2gt}{K}}-\frac{1}{K}}{e^{\frac{2gt}{K}+\frac{1}{K}}

Et là en sachant que K est une vitesse je ne trouve pas v(t) en tant que vitesse...

C'est moi qui me trompe?

Posté par
J-Pre : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 20:15

J'aboutis à :

4$ v(t) = \frac{e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}.t}-1 }{e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}.t}+1} \sqrt{\frac{mg}{k}}

k n'a pas la dimension d'une vitesse.

kv² est une force

[kg/m] = ML^-1.L.T^-2.L^-1 = M.T^-2.L^-1

kv² est une force
mg est une force

kv²/(mg) n'a pas de dimension

k/m a la même dimension que g/v²
kg/m a la même dimension que g²/v² soit 1/T²

V(kg/m) a une dimension T^-1
--> V(kg/m) . t n'a pas de dimension (OK comme exposant de e)
---
kv² est une force
mg est une force

mg/k a la dimension de vitesse²

V(mg/k) a la dimension d'une vitesse --> OK
-----
Tout est pour le mieux.


Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 20:31

Oui je me suis trompé je trouve la même chose que toi

Dernière petite chose et j'arrête de t'embêter : que signifient le T et le L ?

En fait tout est OK pour moi sauf ton analyse dimentionnelle, je n'y comprends pas grand chose

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 20:35

PS : Je n'ai pas dit que k était une vitesse mais K avec K=\sqrt{\frac{mg}{k}}

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 20:39

Si ça y est j'ai tout compris

Merci beaucoup !

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 20:48

Non en fait juste ceci qu'il faudrait que tu m'expliques

Citation :
kv² est une force

[kg/m] = ML^-1.L.T^-2.L^-1 = M.T^-2.L^-1

kv² est une force
mg est une force

kv²/(mg) n'a pas de dimension

Posté par dellys (invité)re : [Physique] Chute d'un corps 05-02-07 à 20:53

salut info
reflichi encore et tu va encor dire cé bon jai compris

Posté par
J-Pre : [Physique] Chute d'un corps 06-02-07 à 11:34

Erreur de copier coller.

[kg/m] signifie unités de kg/m

Les unités de bases sont notées:
T pour le temps.
M pour les masses
L pour les longueurs.

comme kv² est une force (force = ma --> unité MLT^-2)

[k] = MLT^-2/(LT-1)² = MLT^-2L^-2T² = ML^-1
autrement dit en SI, l'unité de k est le kg/m

[g] = LT^-2
autrement dit en SI, l'unité de g est le m/s²

[m] = M
autrement dit en SI, l'unité de m est le kg

[kg/m] = [k][g]/[m]
[kg/m] = ML^-1.LT^-2/M
[kg/m] = T^-2

et donc [V(kg/m).t] = V(T^-2).T = T^-1.T --> pas de dimension.
-----

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 06-02-07 à 18:04

Tout est O.K ! J'ai même pu vérifier la formule avec des exercices de mon livre, ça me dispensera d'appliquer la méthode d'Euler

Merci beaucoup J-P

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 19-02-07 à 17:42

Bonjour

Je fais remonter ce topic car je suis en train de le rédiger au propre et il me semble qu'à la fin il y a une petite erreur :

4$ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{kg}}.ln|\frac{1+\sqrt{\frac{k}{mg}}v}{1-\sqrt{\frac{k}{mg}}v}|%20=%20t%20

Là je suis d'accord mais ensuite j'aurais écrit :

4$ ln|\frac{1+\sqrt{\frac{k}{mg}}v}{1-\sqrt{\frac{k}{mg}}v}|=2\sqrt{\frac{kg}{m}}t

Et dans ce cas je trouve à la fin :

4$ \fbox{v(t)=\sqrt{\frac{m}{kg}}.\frac{e^{\sqrt{\frac{kg}{m}}2t}-1}{e^{\sqrt{\frac{kg}{m}}2t}+1}}

Quelqu'un peut confirmer/infirmer ?

Posté par
lyonnaisre : [Physique] Chute d'un corps 19-02-07 à 18:00

Salut Kevin

Et l'homogénéité ?

Ton truc n'est pas homogène comme dirait mon prof de physique

Bref, je n'ai bien sur pas résolu ton equation différentielle, mais voyant que personne ne te répondait, je me suis dit que j'allais demander à Mathématica !

Verdict :

[Physique] Chute d\'un corps

Donc je confirme la réponse finale de JP

A+
Romain

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 19-02-07 à 18:10

Salut romain

Où est l'erreur alors ?

Posté par
lyonnaisre : [Physique] Chute d'un corps 19-02-07 à 18:16

j'en sais rien moi, j'ai pas regardé tout le topic :D

Ce que je sais, c'est que tu ne peux pas avoir :

\Large{\sqrt{\frac{m}{k.g}}

sinon ce n'est plus homogène a une vitesse.

Si j'ai le temps je jetterai un oeil. Mais là faut que je fasses ... de la physique !!

A+
Romain

Posté par
lyonnaisre : [Physique] Chute d'un corps 19-02-07 à 18:28

En gros, on peut encore simplifier, le résultat est :

[Physique] Chute d\'un corps

joli nan :D

??

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 19-02-07 à 18:28

Je crois avoir trouvé mon erreur

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 19-02-07 à 18:29

Ah oui joli j'essayerais de voir comment on y aboutit

Dit voir c'est sympa Mathematica, c'est gratuit ?

Posté par
lyonnaisre : [Physique] Chute d'un corps 19-02-07 à 18:32

>> Kevin

Il y a juste à savoir que :

th(x) = (ex-e-x)/(ex+e-x)

Désolé pour toi, Mathématica n'est pas gratuit.

Mais si tu vas en prépa, ce sera soit Mathématica soit Mapple

PS : j'avais géré pour arriver dans une zone blanche et tac un message de ria !!

Tu y crois à ça

Posté par
lyonnaisre : [Physique] Chute d'un corps 19-02-07 à 18:34

Citation :
Je crois avoir trouvé mon erreur

Cool, j'aurais pas à me faire mal à la tête pour la trouver :D

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 19-02-07 à 18:34



Mapple je l'ai mais je sais pas m'en servir

Pour l'erreur c'est bon j'ai trouvé ^^

Posté par
lyonnaisre : [Physique] Chute d'un corps 19-02-07 à 18:35

Citation :
Mapple je l'ai mais je sais pas m'en servir

Dans ce cas, il va te falloir attendre une petite année ... ^^

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 19-02-07 à 18:38

Ouai mais je suis pas très patient

Dès que j'ai fini de rédiger mon PDF je le mets en lien

Merci à J-P s'il nous lit !

Posté par
lyonnaisre : [Physique] Chute d'un corps 19-02-07 à 18:40

Citation :
Dès que j'ai fini de rédiger mon PDF je le mets en lien

Je suis preneur !

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 19-02-07 à 19:02

Voila voila



Bonne lecture

Dis moi si tu vois des fautes

Posté par
lyonnaisre : [Physique] Chute d'un corps 19-02-07 à 19:07

ça marche, je suis parti pour la lecture hihi ^^

je te tiens au courant

Merci !!

Posté par
lyonnaisre : [Physique] Chute d'un corps 19-02-07 à 19:13

C'est presque Nikel !

Petite erreur : à la fin, dernière expression, il manque le t dans tanh(...t)

Précision : tanh = th

Ca dépend des notations que l'on prend ( anglaise ou autre ... )

C'est du bon boulot ^^

Posté par
J-Pre : [Physique] Chute d'un corps 19-02-07 à 19:32

Si je peux me permettre:

Tout au début: (page 1)

"On se place ... Archimède"

L'explication n'est pas parfaite.
On peut négliger la poussée d'Archimède si la masse volumique du corps est beaucoup plus grande que celle de l'air. Ce serait bien de le mentionner.
-----
page 3:

La ligne:

Donc (ln(1 - ...) n'est pas correcte.

Le dv au numérateur du second membre DOIT être supprimé.
-----
page 5.

Erreur à la dernière ligne.

Ce doit être :
... tanh(V(kg/m) et pas ce qui est écrit.
-----

Posté par
lyonnaisre : [Physique] Chute d'un corps 19-02-07 à 19:48

Félcitation J_P pour avoir vu ces nouvelles erreurs ...

Posté par
infophilere : [Physique] Chute d'un corps 19-02-07 à 20:17

Merci, c'est rectifié

J'ai trouvé ça très intéressant comme sujet !

Comment est-ce qu'on détermine la valeur de k ? Je sais qu'elle dépend de chaque objet, et en particulier de l'aérodynamisme, mais sinon...

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