Bonjour,
en faisant quelques exercices de révisions sur les diverses application de le deuxième loi de Newton en référentiel Galiléen, je suis tombée sur un exercice qui me donne du fil a retordre !

Voici l'énoncé :

Un solide S de masse m, fixé à l'extrémité du ressort est guidé par l'intermédiaire d'une tige horizontale Ox. On supposera que le mouvement s'effectue sans frottement.
L'abscisse x du centre d'inertie est mesurée par rapport a la position 0 de G au repos.
On se place dans le réf du labo supposé Galiléen.

On écarte le solide S de sa position d'équilibre jusqu'à ce que l'abscisse de G soit x=xm puis on lâche le mobile sans vitesse initiale à la date t=0

J'ai fait un schéma que l'on peut voir a la fin du message !
(je l'ai fait sur un brouillon car avec paint je n'arrivais a rien !)

Question 1 : Faire un bilan des forces  FAIT (elles sont aussi représentées sur le schéma : le poids, la force de contact (sans frottements), et la force de rappel du ressort)

Question 2 :

A. Établir les équations différentielles du mouvement G

P (0, 0, -mg)
R (0, 0, R.(dz/dt))
f(-k(dx/dt), 0, 0)

d'après le seconde loi de Newton : P+f+R (les vecteurs !) = ma (a vecteur accélération) avec m constante

m (d seconde(x)/dt^2) = -k.(dx/dt)            car f(vect)= -k (lo+x-lo)= -kx
m (d seconde(y)/dt^2) = 0
m (d seconde(z)/dt^2) = R.(dz/dt) - mg

Voila les équations différentielles : a moins que je n'ai fait une erreur...

B. Établir l'équation horaire du mouvement

C'est la que je bloque !

Donc je sais que l'on résout les trois équations une par une mais je n'y parviens pas.

Admettons que l'on commence par : m (d seconde(x)/dt^2) = -k.(dx/dt)
on obtient (d seconde(x)/dt^2) + (k/m).(dx/dt)

Et on émet une hypothèse de travail selon laquelle :
x(t)= a.exp(r.t)

on pose r^2 + (k/m)r = 0 d'ou r1 = 0 et r2 = -k/m
donc x(t) = a1 + a2 exp ((-k/m)t) avec a1 et a2 des constantes a déterminer... (ARRÊTER MOI SI JE ME TROMPE, HEIN !)

On recherche donc ces constantes a1 et a2 :

d'après les conditions initiales, à t=0, on a :

x(t=0) = xm = a1 + a2 (j'ignore d'ailleurs pourquoi !)

(dx/dt) = (-km).a2.exp( (-k/m)t)
(dx(t=o)/dt) = (-k/m).(xm-a1).exp( (-km)t) ......????

Bon, voila, la je ne sais pas quoi faire de cette équation que je pense même être erronée.. De l'aide serait la bien venue !

Merci d'avance !