Niveau maths sup

Physique : Allongement maximal d'un ressort

Posté par
Skops 20-10-07 à 17:17

Bonjour,

Une boule de masse m est accroché au bout d'un ressort.
A t=0, la boule reçoit un choc qui la fait monter avec une vitesse V0.

Quelle est l'allongement maximale que subira le ressort ?

Une ptite piste, merci

Skops

Posté par re : Physique : Allongement maximal d'un ressort 20-10-07 à 17:26

Mettre le système en équation est une bonne idée ?

Skops

Posté par re : Physique : Allongement maximal d'un ressort 20-10-07 à 18:44

Salut Skops,

je pense qu'il faut établir l'équation horaire du mouvement de la masse en effet.

Posté par re : Physique : Allongement maximal d'un ressort 21-10-07 à 09:37

Alors avec le PFD, j'ai $4$\vec{P}+\vec{F}=m\vec{a}$

$4$mg-k\Delta l=ma$

Mais à quoi est égale $4$\Delta l$ ?

Est ce que c'est l'allongement du ressort à l'état initial ou l'allongement du ressort après le choc ?

Skops

Posté par re : Physique : Allongement maximal d'un ressort 21-10-07 à 12:07

Up

Skops

Posté par re : Physique : Allongement maximal d'un ressort 21-10-07 à 12:08

Si on considère que ton ressort est fixé par le haut. Alors je décide de prendre un axe Ox dirigé vers le bas avec pour origine le point d'attache.

Ton ressort a une longueur à vide $\Large l_0$ .

A l'état initial on a attaché une masse m au ressort, ce qui lui donne une longueur $\Large l_e$ . On a donc par la relation fondamentale de la dynamique et par projection sur l'axe Ox :

$\Large ma = mg-k(l-l_0)$

A l'équilibre a=0 et $\Large l=l_e$ , ce qui donne $\Large l_e=l_0+mg/k$

On a donc : $\Large ma=mg-k(l-l_0)$

En prenant x comme étant le déplacement de la masse m par rapport à sa position d'équilibre : $\Large l = l_e + x$

On a $\Large m\ddot{x}=mg-k(l-l_0)=mg-k(l_e+x-l_0)$ , ce qui donne, en reportant la valeur de $\Large l_e$ :

$\Large \ddot{x}+(k/m)x=0$

On pose $\Large \omega_0=\sqrt{k/m}$ , ce qui donne :

$\Large \ddot{x}+\omega_0^2x=0$

Cette équation différentielle a pour solution :

$\Large x(t)=Acos(\omega_0t)+Bsin(\omega_0t)$

or $\Large x(0) = 0$
et $\Large\dot{x}(0) = v_0$

D'où $\Large x(t)=\frac{v_0}{\omega_0}sin(\omega_0t)$

x est maximal quand le sinus vaut 1, donc

$\Large x_{max}=\frac{v_0}{\omega_0}=v_0\sqrt{\frac{m}{k}}$

Donc l'allongement maximal est $\Large l = l_e+x_{max}$

Soit $\Large\fbox{l = v_0\sqrt{\frac{m}{k}}+l_0+\frac{mg}{k}}$

Saut erreur de ma part