Niveau maths sup

[Phy] Theoremes du linéaire (Electricite)

Posté par
boubou01 30-01-08 à 20:34

Dans le circuit représenté ci-contre, le c.e.m. de la source de courant parfaite est égale à $\eta(t)=I_0Y(t)$ , où Y(t) est la fonction d'Heaviside, ceci représentant l'association de la source de courant parfaite de c.e.m. $I_0$ en parallèle sur un interrupteur K, ce dernier étant fermé pour t < 0 et ouvert pour t > 0.

Pour t < 0, le condensateur est déchargé et la tension u étant nulle, il n'y a aucun courant dans la bobine:
t < 0 : $\eta(t)= 0$
t > 0 : $\eta(t)=I_0$ avec $I_0$ > 0.

Remarque: Les équations différentielles demandées ci-dessous seront d'abord données pour "tout t" en fontion de $\eta(t)$ , $\frac{d\eta(t)}{dt}$ et $\frac{d^2\eta(t)}{dt^2}$ ; elles feront donc intervenir la fonction de Heaviside Y(t), le pic de Dirac $\delta(t)$ et le double pic de Dirac inversé $\frac{d\delta(t)}{dt}$ .

1) Etablir la relation entre u, i', $\frac{di'}{dt}$ et les valeurs des composants.

2) Etablir la relation entre $\frac{du}{dt}$ , i, $\frac{di}{dt}$ et les valeurs des composants.

3) Déterminer les équations différentielles en i(t) et en i'(t).

4) En déduire i(t), i'(t) et u(t) dans les deux cas suivants:

a) $\frac{L}{R}=\tau$ ; $LC=\tau^2$ . Interpréter le résultat obtenu pour u(t).

Retrouver l'expression de u(t) en cherchant l'équation différentielle en u(t) puis en résolvant.

b) $\frac{L}{R}=\tau$ ; $LC=\frac{\tau^2}{2}$ . Représenter i(t), i'(t) et u(t) en précisant les points remarquables.

Retrouver l'expression de u(t) en cherchant l'équation différentielle en u(t) puis en résolvant.

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