Bonjour, pouvez vous m'aider svp ? merci d'avance !

Dans un cristal, les atomes sont placés aux noeuds d'un réseau tridimensionnel régulier. Une onde élastique plane longitudinale se propageant suivant une des directions du réseau fait osciller simultanément tous les atomes des plans perpendiculaires à cette direction. Pour étudier la propagation d'une telle onde, il suffit donc de raisonner sur une chaîne d'atomes identiques et équidistants. Si,
dans cette chaîne, un atome est déplacé, ses deux voisins qui lui sont reliés se mettent en mouvement et ainsi de suite. L'ébranlement se propage de proche en proche en déformant la chaîne.
La chaîne d'atomes est modélisée par de très petites billes de masse M reliées entre elles par des ressorts de raideur K. La distance inter-atomique à l'équilibre est notée a
1. Exprimer l'énergie potentielle d'un ressort allongé d'une longueur x par rapport à sa longueur au repos. Que représente physiquement ce ressort dans notre modèle?
2. On limite les intéractions aux premiers voisins en supposant les déplacements suffisamment petits pour que les deux forces de rappel agissant sur chaque atome soient proportionnelles à la variation, par rapport à la valeur d'équilibre a, des distances entre cet atome et ses deux premiers voisins. Au repos, on repère la position de l'atome n par l'abscisse x_n = n a. Son déplacement
lors de l'ébranlement est noté u_n.
Ecrire l'expression des forces exercées par les atomes n-1 et n+1 sur le n^ième.
3. On suppose que la longueur d'onde moyenne caractérisant la vibration est très grande devant la distance inter-atomique a.
Ecrire la relation fondamentale de la dynamique sur l'atome n.
4. On veut montrer que l'équation du mouvement d'un atome se ramène à l'équation de propagation dans un milieu continu. Pour cela, on pose un(t) = f(x,t) ou x_n = na. Ainsi on aura:

u_n-1(t) = f(x - a,t) pour l'atome n-1
u_n+1(t) = f(x + a, t) pour l'atome n+1
En faisant un developpement limité de u_n-1 et u_n+1 à l'ordre 2 exprimer les différences u_n+1 - u_n et u_n-1 - u_n.On rappelle que le développement limité d'une fonction au 2éme ordre au voisinage de x₀ est:
f(x x₀)f(x,t)
x₀(f(x,t)/x)+(x₀²/2)(²f(x,t)/x²)


Pouvez vous m'aider svp car je suis vraiment perdu  ? merci d'avance !

Pour l'énergie potentielle c'est pas 1/2kx² mais pour k je vois pas ?