Niveau maths sup

Petite question en thermodynamique

Posté par
EvDavid 20-06-17 à 02:37

Bonsoir,

Je travaillais un problème de thermodynamique , et comme réponse à une certaine question j'ai obtenu un résultat diffèrent de celui du corrigé. Je comprend le raisonnement du résumé et je ne vois pas pourquoi je n'y ai pensé puisque c'est le plus naturel , mais je vois que mon raisonnement n'est pas faux aussi , c'est pour cela que je me dirige vers vous afin de me corriger et ainsi mieux comprendre certaines notions de thermodynamique.

Voici l'énoncé :
Un cylindre fermé horizontal est divisé en deux compartiments A et B de même volume $V_{0}$ par un piston coulissant librement sans frottement. A et B contiennent chacun une mole de gaz parfait monoatomique à la pression $P_{0}$ et à la température $T_{0}$ .
Le piston, la surface latérale du cylindre et la surface de base $S_{A}$ du compartiement A sont adiabatiques. La surface de base $S_{B}$ du compartiement B est diatherme.
Le compartiement A est porté très lentement à température $T_{1}$ à l'aide d'une résistance chauffante, le compartiement B reste à température $T_{0}$ par contact thermique avec un thermostat.

Les question qui précédent celle où j'ai trouvé une difficulté avec leurs réponses sans détail des calculs:
1) Exprimer les volumes $V_{A},V_{B}$ et la pression finale d'équilibre $P_{f}$ en fonction de $T_{1},T_{0},V_{0}$ correspondant à la position d'équilibre du piston.
--> On trouve: $V_{A}=\frac{2V_{0}.T_{1}}{T_{1}+T_{0}}$ , $V_{B}=\frac{2V_{0}.T_{0}}{T_{1}+T_{0}}$ , $P_{f}=\frac{R(T_{1}+T_{0})}{2V_{0}}$
2)Quelle est la variation d'énergie interne du gaz à l'intérieur de A et B ? En déduire la variation d'énergie interne du système (A+B).
--> $\Delta U_{A}=\frac{3R(T_{1}+T_{0})}{2}$ et $\Delta U_{B}=0$ , $\Delta U_{A+B}=\frac{3R(T_{1}+T_{0})}{2}$
3) Quelle est la nature de la transformation subie par le gaz en B ? Quel est le travail échangé par B avec A ? En déduire la quantité de chaleur Q₁ reçue par le thermostat.
--> Le gaz en B subie un transformation isotherme quasi statique. Le travail échangé avec A est : $W_{B}=RT_{0}ln(\frac{T_{0}+T_{1}}{2T_{0}})$ et selon le premier principe de la thermodynamique : $\Delta U_{B}=0=W_{B}-Q_{1}$ ( -Q1 car on cherche la chaleur reçue par le thermostat ) et on trouve le résultat demandé.

Voici la question où je trouve des difficultés : 4) En considérant le système A, trouver la quantité de chaleur Q₂ fournie par la résistance chauffante.
C'est le même raisonnement que la question précédente ,seulement dans le calcul du travail je trouve un problème .
Selon le corrigé , le travail reçu par A est l'opposé du travail reçu par B ( ce qui est tout à fait correct ) et pour ma part j'ai travaillé comme cela :
$\delta W_{A}=-P_{ext}dV$ or le gaz en A subit une transformation quasi-statique et mécaniquement réversible ( infiniment lente et sans frottement ) donc $P_{ext}=P_{gazA}$ or vu la lenteur de la transformation , on a à chaque instant un équilibre mécanique qui se traduit par égalité de pression entre les gazs dans A et B donc $P_{gazB}=P_{gazA}$ d'où $\delta W_{A}=-nRT_{0}\frac{dV}{V_{gazB}}$ or T0 constante , et pour une variation entre l'instant initial à l'instant final , trouve: $W_{A}=nRT_{0}ln(\frac{T_{0}+T_{1}}{2T_{0}})$ qui est exactement le travail reçu par B.

Je ne vois pas où se situe le problème. J'espère que vous pourrez m'aider afin de résoudre ce mystère.

Merci d'avance

Posté par re : Petite question en thermodynamique 20-06-17 à 03:37

Bonjour,
Quand vous avez l'intégration qui permet le passage du travail élémentaire vers le travail, qu'avez-vous utilisé comme bornes de l'intégrale?

Posté par re : Petite question en thermodynamique 20-06-17 à 15:44

Bonjour,

De l'état initial à l'état final ( et puisque à l'état initial le gaz en B occupe un volume V₀ et à l'état final il occupe un volume V_B j'ai trouvé le même résultat qu'avant )

Posté par re : Petite question en thermodynamique 20-06-17 à 16:01

Je ne crois pas que ton problème vienne d'une erreur de bornes d'intégration mais d'un manque de rigueur dans les notations.
Les évolutions des deux gaz sont supposées quasi statiques.
Pour distinguer les deux systèmes, j'utilise les indices a et b pour chacun des gaz dans un état intermédiaire et les indices A et B pour les deux gaz à l'état final. Cela donne pour le gaz B :

$\delta W_{B}=-P_{b}.dV_{b}=n.R.T_{0}.\frac{dV_{b}}{V_{b}}$

$W_{B}=n.R.T_{0}.\intop_{V_{0}}^{V_{B}}\frac{dV_{b}}{V_{b}}=n.R.T_{0}.\ln\left(\frac{V_{B}}{V_{0}}\right)=n.R.T_{0}.\ln\left(\frac{T_{0}+T_{1}}{2T_{0}}\right)$

Pour le gaz A, la méthode la plus directe est celle de ton corrigé. On peut s'en sortir par ta méthode à condition de ne pas faire de confusions au niveau des notations.

$\delta W_{A}=-P_{a}.dV_{a}$

Evolution quasi statique : la pression est, au premier ordre près, la même de chaque côté du piston : $P_{a}=P_{b}$ . La somme des deux volumes étant fixe, la variation de volume d'un gaz est égal à l'opposé de la variation de volume de l'autre :

$dV_{a}=-dV_{b}$

Ainsi :

$\delta W_{A}=-P_{a}.dV_{a}=P_{b}.dV_{b}=-\delta W_{B}$

Ce qui par intégration conduit évidemment à :

$W_{A}=-W_{B}$

Autres remarques :

1° même si les quantités de gaz valent une mole, il faut conserver n dans les expressions littérales, sinon on obtient des expressions qui ne sont pas homogènes. Ainsi :

$P_{f}=\frac{n.R.(T_{1}+T_{0})}{2V_{0}}$

2° confusion semble-t-il entre énergie interne et variation d'énergie interne : la première loi de Joule pour des gaz mono atomiques conduit à :

$\Delta U_{A}=\frac{3}{2}n.R.\left(T_{1}-T_{0}\right)\;et\;\Delta U_{B}=0\;,\;\Delta U_{A+B}=\frac{3}{2}n.R.\left(T_{1}-T_{0}\right)$

Posté par re : Petite question en thermodynamique 20-06-17 à 20:50

Bonsoir ,

Je vous remercie pour votre réponse. Je comprends mon erreur maintenant, et merci aussi pour les remarques, elles ont été grandement instructives.

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de physique

Fiches de physique - chimie

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Petite question en thermodynamique

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de physique