Niveau autre

petit probleme de physique.

Posté par jimmy (invité) 09-01-05 à 22:15

bonsoir tous le monde j'ai un petit probleme trés interessant mais pas si facil qu'on le croit;j'aimerais bien que quelqu'un m'aide pour le résoudre.merci d'avance.
-une fusée s'élevant verticalement,consomme toutes les secondes une masse D=500kg,constante,decombustible,éjectée sous forme de gaz,avec une vitesse u,constante par rapport à la fusée,égal à 3000m/s.déterminer la vitesse de la fusée quand son conbustible est épuisé.quelle altitude a-t-elle atteinte? la masse de la fusée est de 100tonnes, et comprend 80tonnes de combustible.on négligera les frottements de l'air.

Posté par re : petit probleme de physique. 11-01-05 à 00:02

Il faut appliquer le théorème fondamental de la dynamique
$\Bigsum \vec F = \frac {d(m\vec v)}{dt}$ au système gaz plus fusée

Entre les instants $t$ et $t+\delta t$
$\large \array{c20c20l500$ 0 & = & (m_f(t+\delta t) v_f(t+\delta t) + m_{gaz}v_{gaz}(t+\delta t)) \; - (m_f(t) v_f(t)) \\ & = & $ m_f(t)\,-\,D\,\delta t $ v_f(t+\delta t) + D\,\delta t (v_f(t)-u) - m_f(t)\,v_f(t) \\ & = & m_f(t) \, \frac {d v_f}{dt} \delta t - u D \delta t - D\delta t(v(t+\delta t) - v(t))}$

En négligeant les termes d'ordre > 2 on obtient l'équation différentielle

$\Large \frac {dv_f}{dt} = \frac {u D}{m_f(t)} = \frac {u D}{m_0-Dt}$

En intégrant on arrive à
$\Large v(t) = u \,\ln \frac {m_0}{m_0-Dt}$

En réintégrant
$\large h(t)=\Bigint_0^t v(\tau) d\tau = u \ln m_0 \,t - u \Bigint_0^t \ln (m_0-D \tau) d\tau = u \ln m_0\, t \;-\; u\,\[- \frac 1 D {(m_0-D \tau) \ln(m_0-D \tau) +\frac 1 D (m_0-D \tau)}\]_0^t$

$\fbox{ \Large \red h(t) = u t + u \, \frac {m_0-D t} D \ln \frac {m_0}{m_0-D t}$

$\large h_{max}\approx 287 \,km$