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periode oscillation et analyse dimentionnelle

Posté par
soso75017
14-09-18 à 05:45

Bonjour,

j'ai besoin d'aide pour résoudre cet exo:  

En fabricant un ressort de quelques micromètres de long, des physiciens de l'université Purdue aux Etats-Unis ont réussi à mesurer la masse d'un virus en 2004. Le dispositif est constitué d'une languette élastique de silicium au bout de laquelle est déposé le virus. Cette languette peut osciller à la manière d'une règle sur le bord d'une table. Dans son comportement mécanique, cette languette peut être modélisée par une plaque de masse  =2.10 kg attachée à un ressort de raideur =20 S.I.
Définition de la raideur  du ressort : quand nous appliquons une force de norme  à l'extrémité de la lame, elle se déplace d'une distance  telle que  F=kd .
Dans un premier temps, nous considérons le mouvement de la languette sans virus.

1. Déterminer la dimension de la raideur  k d'un ressort. Donner son unité dans le système international.

2. La lame oscille avec une période To. En cherchant  To de la forme :To =C k  M,C  étant une constante sans dimension, trouver par analyse dimensionnelle les exposants  et .

3. Ici, C=2, vérifier que To≅0,2 μs.

4. Combien vaut alors la fréquence  f des oscillations ?


Un virus de masse  m est maintenant déposé sur l'extrémité de la lame.

5. Trouver l'expression de la nouvelle période  T de l'oscillateur portant le virus en fonction de  To et du rapport m/M.

6. Après l'ajout du virus, la période des oscillations a augmenté d'une quantitéT −To= 0,5.10 s. Si l'on admet que m≪M, en déduire la masse du virus.

Indication : on rappelle le développement limité suivant :  (1+)≈1+, pour ≪1

Posté par
soso75017
re : periode oscillation et analyse dimentionnelle 14-09-18 à 05:56

j'ai pu répondre aux quatre premières questions mais pour la 5 et la 6 je ne vois pas ou il veut en venir, je ne comprends pas vraiment les questions.

merci pour votre aides

Posté par
odbugt1
re : periode oscillation et analyse dimentionnelle 14-09-18 à 09:56

Bonjour,

Question 5 :

Je propose :

T=2 \pi  \sqrt{ \dfrac{M+m}{K} } \\
 \\ T= \dfrac{2 \pi}{ \sqrt{K} }  \sqrt{M(1+  \dfrac{m}{M})  }\\
 \\ T=T_0 \sqrt{(1+  \dfrac{m}{M})

Posté par
soso75017
re : periode oscillation et analyse dimentionnelle 14-09-18 à 11:48

merci pour cette réponse très rapide.

une idée peut etre pour la 6 ?

Posté par
odbugt1
re : periode oscillation et analyse dimentionnelle 14-09-18 à 12:09

Il y a à mon avis plusieurs erreurs dans l'énoncé :

* La plaquette n'a probablement pas une masse de 2,10 kg ni de 2.10 = 20 kg

* L'augmentation de la période des oscillations ( question 6 ) n'est probablement pas de 0,5.10 = 5s

* Le développement limité de  (1+)pour ≪1 n'est probablement pas 1+.

Pour répondre à la question 6 il faut utiliser le résultat de la question 5 ainsi que le développement limité

( correct ! ) de  \sqrt{1+ \dfrac{m}{M} } avec m/M<<1

Posté par
soso75017
re : periode oscillation et analyse dimentionnelle 16-09-18 à 22:03

merci beaucoup.

est ce que vous pourriez m'aider pour le developpement limité

merci

Posté par
odbugt1
re : periode oscillation et analyse dimentionnelle 16-09-18 à 23:36

La relation correcte pour le développement limité de ( 1 + ϵ )α pour ϵ<<1 est ( 1 + ϵ )α = 1 + αϵ

Donc :

 \sqrt{1+ \dfrac{m}{M} } = \left(1+ \dfrac{m}{M}\right)^\frac{1}{2}\approx 1+\dfrac{m}{2M}  car m/M <<1

Le résultat de la question 5 associé à ce développement limité permet de répondre à la question 6

Posté par
soso75017
re : periode oscillation et analyse dimentionnelle 21-09-18 à 23:41

j'ai regardé beaucoup de video mais je ne comprends rien aux developpement limité.

pourrais tu me l'expliqué stp

Posté par
odbugt1
re : periode oscillation et analyse dimentionnelle 22-09-18 à 09:02

C'est une question purement mathématique qu'il vaut mieux poser sur l'ile des maths.

Tu peux aussi remarquer que puisque le développement limité de (1+)≈1+, pour ≪1 est donné par l'énoncé tu peux l'utiliser sans connaître la théorie.

Posté par
soso75017
re : periode oscillation et analyse dimentionnelle 22-09-18 à 19:23

ok je vais le faire.
donc la reponse a la question 6 c'est  ce  que tu as écrit plus haut?

Posté par
odbugt1
re : periode oscillation et analyse dimentionnelle 23-09-18 à 10:42

D'après le résultat de la question 5 :

T=T_0 \sqrt{(1+  \dfrac{m}{M})

En utilisant le développement limité :

 \sqrt{1+ \dfrac{m}{M} } \approx 1+\dfrac{m}{2M}

On obtient :

T \approx T_0 ( 1+\dfrac{m}{2M})

soit après remise en forme :

m \approx \dfrac{2M(T-T_0)}{T_0}

qui constitue la réponse attendue à la question 6
Il ne reste plus qu'à faire l'application numérique.

Posté par
soso75017
re : periode oscillation et analyse dimentionnelle 25-09-18 à 01:06

merci énorement pour ton aide et le temps que tu m'a accordé

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