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Pendule pesant
Bonsoir tout le monde 
Je vous propose un petit exo où je suis complètement perdu...
Un pendule est constitué d'un fil idéal de longueurl, fixé en O et auquel est suspendu un objet M de masse m. Il oscille dans le plan Oxz et sa position est repérée par téta, angle entre la verticale et le fil.
Etablir l'équadiff du pendule vérifiée par teta
a) Par le PFD
b) Par le théorème de l'énergie cinétique
c) On lache l'objet sans vitesse initiale, le fil étant tendu à partir d'un petit angle teta_o exprimer teta(t).
Pour le c) je vois il s'agit de résoudre l'équadiff pas de soucis je pense avoir compris la méthode.
Mais pour l'établir...
je m'en sors ni avec l'une ni avec l'autre je vois pas sur quelle base projeter le PFD pour faire apparaitre du teta...
Et le théorème de l'energie cinétique je m'embrouille un peu... c'est la conservation de l'énergie mécanique ?
question a)
le PFD appliqué au système pendule P dans le référentiel R du labo supposé galiliéen , en coordonnée polaire donne :
selon ur : -T + mg cos (theta) = m*a(P)(R). ur = m*(-r (theta)'^2) (on ne l'exploite pas)
selon u0 : -mgsin(theta) = ml(theta)''
soit (theta)'' + g/l*sin(theta) = 0 (E1); voici l'équation du mouvement vérifiée par theta
question b)
le théorème de l'énergie cintéque donne :
Ec'= P(F) (puissance des forces)
or Ec = 1/2m*v^2 soit en coordonnées polaires Ec = 1/2m*(l*(theta)')^2
en dérivant par rapport au temps on obtient :
Ec' = m*l^2*(theta)'*(theta)''
seul le poids travaille donc
P(F)=P(poids)=(mg*cos(theta)ur-mgsin(theta)u0).l(theta)'u0 = -mglsin(theta)*(theta)'
en égalisant les expressions de la puissance et de la dérivée de l'énergie cinétique, et en simplifiant par (theta)' qui est non nulle ( sinon il n'y a pas de mouvement ), on obtient :
l(theta)''=-g*sin(theta) ou encore theta''+ g/l*sin(theta)=0 (E1)
question c)
si théta est petit, on peut faire l'approximation que sin(theta)=theta (en effet sin(t) est équivalent a t en 0), ce qui donne :
theta''+ g/l*theta = 0 : il s'agit de l'équation de mouvement d'un oscillateur harmonique de pulsation sqrt(g/l)
c)
Composante du poids de l'objet tangentiellement à son mouvement: F = mg.sin(theta)
Avec L la longueur du pendule, on a :
On a donc un couple(moment) qui tente à faire tourner l'objet autour de O: C = F*L = mg.L.sin(theta)
C = - J . d²theta/dt²
mg.L.sin(theta) = - m.L².d²theta/dt²
d²theta/dt² + (g/L).sin(theta) = 0
C'est l'équation différentielle.
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Pour la résoudre, c'est bernique (à cause de la présence du sinus)
Par contre, si theta max est petit, le sin(theta) peut être assimilé à theta et l'équation devient alors :
d²theta/dt² + (g/L).theta = 0
Les solutions de cette équation sont : theta(t) = A.sin(V(g/L)t) + B.cos(V(g/L)t)
En t = 0, on a theta = theta0 et (d theta/dt)(0) = 0.
cela permet de déterminer les constante A et B --> A = 0 et B = theta0
On arrive donc à :
theta(t) = theta0 * cos(V(g/L)t)
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Sauf distraction.
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