Niveau licence

Pendule de POHL

Posté par
maths31 21-11-12 à 02:33

Bonjours à tous

Est ce que je pourrai avoir de l'aide svp !

Source : Pendule POHL

A l'aide d'une excitation extérieure, on peut forcer le système à osciller avec une pulsation differente de sa pulsation propre. Appliquons une force F = A'cos ( $\Omega t$ ) sur oscillateur, l'équation (1) s'écrit:
$\large \frac{d\alpha^2}{dt^2}$ + 2 $\sigma$ $\large \frac{d\alpha}{dt}$ + $\omega_0^2$ = A'cos ( $\Omega t$ ) avec   $A'=$ $\frac{A}{I}$ (2)

La solution complète est : $\alpha_M$ exp( - $\sigma t$ ) cos ( $\omega t + \theta$ ) + Bcos ( $\Omega t + \phi$ )

En écrivant que $\alpha$ (t) est solution de (2), montrer que B et $\phi$ s'écrivent:
B = $\frac{A'}{\sqrt{(\omega_0^2-\Omega^2) + (2\sigma\Omega)^2}}$ et tan $\phi$ = $\frac{2\sigma\Omega}{\omega_0^2-\Omega^2}$

Montrer que B passe par un maximum lorsqu'on fait varier la fréquence $\Omega$

La fréquence pour la quelle B est maximum est appelée fréquence de résonance. Suivant la valeur de l'amortissement, la résonance est plus au moins nette, le pic de résonance est plus au moins aigu. On parle de l'acuité de la résonance. Pour définir celle ci, on utilise un coefficient, le facteur de qualité Q: Q = $\frac{\Omega_rés}{ \Delta\Omega}$

Avec $\Omega_rés$ la fréquence de résonance  et $\Delta\Omega$ la largeur à mi-hauteur du pic.

Dans le cas d'un oscillateur npn amorti, la méthode de résolution précédente n'est plus valable puisque si   $\Omega$ = $\omega_0$ , la solution particulière est la meme que la solution homogène et il faut alors chercher une solution de la forme y(t)=D.t.cos ( $\omega_0 t + \phi$ )
La solution complété s'écrit pour la cas sans amortissement: (t) = $(\alpha_M + \frac{A' }{2\omega_0}t)$ .cos $(\omega_0 t \frac{\pi}{2} )$

On remarque que l'amplitude des oscillations augmente indéfiniment quand t croit pour un système non amorti.

Question : vérifier que la fonction (t) est solution de l'équation (2) à la résonance pour un amortissement