Niveau maths sup

passage d'un cosinus a une exponentielle mécanique

Posté par
napster4 20-05-13 à 14:24

Bonjour, je dois rendre un dossier pour demain, et il s'avère qu'il me manque une petite connaissance, je dois passer cette expression
"xo*cos (ω't + ϕ')" sous forme exponentielle, et j'ai un trou de mémoire.
Un grand merci a tous d'avance.

Posté par re : passage d'un cosinus a une exponentielle mécanique 20-05-13 à 15:33

Bonjour,

en notation complexe, $X_0\cos(\omega t+\phi)$ s'écrit $\underline{X_0}e^{\mathrm{j}\omega t}$ avec $\underline{X_0}=X_0e^{\mathrm{j}\phi}$ .

On passe de la grandeur complexe à la grandeur réelle par :

$X_0\cos(\omega t+\phi)=\Re\left[\underline{X_0}e^{\mathrm{j}\omega t}\right]$

Posté par re : passage d'un cosinus a une exponentielle mécanique 20-05-13 à 18:16

Merci pour votre réponse. Cependant ce que je ne comprend pas c'est que x0cos(wt+ ϕ) c'est un réel pur donc sa notation exponentielle devrait être (e^i(wt + ϕ) + e^-i(wt + ϕ))/2 non ?

Posté par re : passage d'un cosinus a une exponentielle mécanique 20-05-13 à 18:22

En fait le but est de résoudre le second membre sous la forme x=x0ei(wt+ϕ) de l'équation : x ̈+ f/m x ̇+ k/m x=x0 cos⁡〖(wt〗)

Posté par re : passage d'un cosinus a une exponentielle mécanique 20-05-13 à 18:23

x"+ f/m x '+ k/m x=g+x0 cos⁡〖(wt〗)

Posté par re : passage d'un cosinus a une exponentielle mécanique 20-05-13 à 18:48

Justement, l'ingéniosité de la méthode c'est de remplacer des réels par des complexes et ensuite revenir en notations réelles.

Au lieu d'utiliser $\cos(x)=(e^{jx}+e^{-jx})/2$ on utilise $\cos(x)=\Re(e^{jx})$ .

Soit maintenant l'équation différentielle :

$x''+\frac{f}{m}x'+\frac{k}{m}x=g+X_0\cos(\omega t)$

On sait résoudre l'équation homogène associée (ie $x''+\frac{f}{m}x'+\frac{k}{m}x=0$ ).

On cherche une solution particulière sous la forme :

$x_p(t)=A+x_0\cos(\omega t+\phi)$ soit en notation complexe $\underline{x_p}=A+\underline{x_0}e^{j\omega t},\ \underline{x_0}=x_0e^{j\phi}$ .

En réinjectant dans l'équation différentielle :

$\blue\large (j\omega)^2\underline{x_0}e^{j\omega t}+\frac{f}{m}(j\omega)\underline{x_0}e^{j\omega t}+\frac{k}{m}(A+\underline{x_0}e^{j\omega t})=g+X_0e^{j\omega t}$ .

En séparant les termes temporels des termes non temporels on a :

$\frac{k}{m}A=g$ ,

$(j\omega)^2\underline{x_0}e^{j\omega t}+\frac{f}{m}(j\omega)\underline{x_0}e^{j\omega t}+\frac{k}{m}\underline{x_0}e^{j\omega t}=X_0e^{j\omega t} \\$ .

Soit encore :

$A=\frac{mg}{k}$

$\underline{x_0}(-\omega^2+j\omega\frac{f}{m}+\frac{k}{m})=X_0$

On a donc trouvé $A$ , il reste $x_0$ et $\phi$ .

Comme $\underline{x_0}=x_0e^{j\phi}$ , il vient :

$\large\red\boxed{x_0=\left|\frac{X_0}{-\omega^2+j\omega\frac{f}{m}+\frac{k}{m}}\right|}$

$\large\red\boxed{\phi=\mathrm{arg}\left(\frac{X_0}{-\omega^2+j\omega\frac{f}{m}+\frac{k}{m}}\right)}$

$\large\red\boxed{A=\frac{mg}{k}}$

$\boxed{\red\large\boxed{x_p(t)=A+x_0\cos(\omega t+\phi)}}$