Niveau licence

Particules de spin 1/2 (observables)

Posté par
GranH 27-05-18 à 00:54

Bonjour/Bonsoir !

Dans le cadre de la mécanique quantique, je dois résoudre un exercice. Pourriez vous m'indiquer si mes réponses/raisonnements sont corrects svp ?

Voici l'énoncé :

On considère un système de N₀ particules de spin 1/2. On se place dans la base des états propres des opérateurs S² et S_z que l'on noteras $\mid +>$ et $\mid ->$ . Nous voulons mesurer la projection S_u de leur spin sur une direction caractérisée par son vecteur unitaire $\vec{u}$ d'angles polaires $\theta$ et .

1. Exprimer l'observable S_u= $\vec{S}.\vec{u}$ en fonction de et . Ecrire la matrice correspondante dans la représentation $\left\{\mid+> ,\mid-> \right\}$ :

Soit $S_{u}=S_{z}cos(\theta ) + S_{x}sin(\theta )cos(\varphi ) +S_{y}sin(\theta )sin(\varphi )$ .

D'où $S_{u}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} cos(\theta ) & sin(\theta )e^{-i\varphi } \\ sin(\theta )e^{i\varphi }& -cos(\theta ) \end{pmatrix}$

2. Déterminer les valeurs propres de $S_{u}$ :

$\lambda_{1} =\frac{\hbar}{2}$ et $\lambda _{2}=-\frac{\hbar}{2}$

3. Vérifier que les états $\mid +>$ _u et $\mid ->$ _u ci dessous sont bien vecteurs propres de S_u.

$\mid +>$ _u = $cos(\frac{\theta }{2}) e^{-i\frac{\varphi }{2}}\mid +> + sin(\frac{\theta }{2}) e^{+i\frac{\varphi }{2}}\mid ->$

$\mid ->$ _u = $sin(\frac{\theta }{2}) e^{-i\frac{\varphi }{2}}\mid +> - cos(\frac{\theta }{2}) e^{+i\frac{\varphi }{2}}\mid ->$

Soit

$S_{u}\mid +>_{u}=\frac{\hbar}{2}\mid +>_{u}$
et

$S_{u}\mid ->_{u}=-\frac{\hbar}{2}\mid ->_{u}$

Donc ils sont bien vecteurs propres de S_u.

4. Soit un système dans l'état $\mid +>$ . Quels sont les résultats possibles d'une mesure de S_u et avec quelles probabilités les obtient on ?

Les deux valeurs possibles sont les deux valeurs propres de S_u soit $\pm \frac{\hbar}{2}$ .

Et on a :

$P(\frac{\hbar}{2})=\mid _{u}<+\mid +>\mid ^{2}=\mid cos(\frac{\theta }{2} )e^{-i\frac{\varphi }{2}}<+\mid +>\mid ^{2}=cos^{2}(\frac{\theta }{2})$

$P(-\frac{\hbar}{2})=\mid _{u}<-\mid +>\mid ^{2}=\mid sin(\frac{\theta }{2} )e^{-i\frac{\varphi }{2}}<+\mid +>\mid ^{2}=sin^{2}(\frac{\theta }{2})$

5. On suppose que partant du système dans l'état $\mid +>$ on effectue une mesure selon la direction $\vec{u}$ qui donne $+\frac{\hbar}{2}$ . On réalise alors une seconde mesure portant cette fois sur S_z. Quels sont les résultats possibles pour cette dernière mesure et avec quelle probabilité ?

D'après moi, après la mesure de S_u, le système est dans l'état $\mid +>$ _u car la mesure a donné $+\frac{\hbar}{2}$ .
Ainsi les valeurs possibles de S_z seront ses valeurs propres donc $\pm \frac{\hbar}{2}$ .

On aura les probabilités suivantes :

$P(\frac{\hbar}{2})=\mid <+\mid +>_{u}\mid ^{2}=cos^{2}(\frac{\theta }{2})$

$P(\frac{-\hbar}{2})=\mid <-\mid +>_{u}\mid ^{2}=sin^{2}(\frac{\theta }{2})$

Je n'ai pas détaillé tout mes calculs, mes doutes étant surtout sur les question 4 et 5 ( les probabilités ainsi que l'état après une première mesure.)
Merci d'avance de votre aide.
Cordialement.