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Particule dans une boite 1D - Equation de Schrodinger.
Bonjour à tous!
J'ai un exercice difficile à résoudre pour demain (en tout cas, je le trouve difficile à résoudre).
Il s'agit d'un exercice sur la modèle de "particule dans la boite 1D".
Je me suis renseignée sur ce modèle, je crois avoir bien compris de quoi il s'agit.
Cependant, l'exercice reste flou et dès la première question, je ne sais pas répondre. Je ne peux même pas continuer l'exercice, j'ai donc pensé à venir demander ici.
La particule a une masse m.
Elle translate dans une seule dimension, dans l'intervalle 0 
xa.
L'énergie potentielle de la particule dans la boite est nulle.
Je dois d'abord vérifier que la fonction
n(x) = 
(2/a) sin(knx)
est solution de l'équation de Schrodinger indépendante du temps
(-h²d²n(x)) / (2md²x) = Enn(x)
h étant la constante de Planck, et m la masse de la particule.
Je ne sais pas comment vérifier cela... Dois je vérifier qu'après remplacement de par sa solution dans l'équation de Schrodinger, j'obtiens bien une énergie égale à une énergie?
Je n'ai jamais fait de problème tourné dans ce sens.
Merci de votre précieuse aide.
Bonsoir,
Les mots sont importants. "Vérifier", ce n'est pas "résoudre"...
Il suffit donc de remplacer la fonction n(x) dans l'équation et constater que la fonction est bien solution de l'équation.
D'accord! Merci!
En faisant cette dérivation, j'obtiens bien proportionnalité entre la dérivée seconde et la fonction d'onde. J'ai vérifié par analyse dimensionnelle.
J'ai ensuite réussi à trouver l'expression de En et de l'hamiltonien. (j'espère que c'est juste!)
Il me suffisait de ce petit coup de pouce, merci!
Maintenant, je dois attribuer à n(x) une fonction 
n(x,t) qui sera dépendante du temps.
Et là, alors que j'avais quelques idées pour les autres questions, c'est le flou complet...
J'ajoute que j'ai pensé à entrer le nombre d'onde 
en écrivant que n(x,t)= (2/a)sin(knx - nt)
Ce n'est qu'une intuition...
Pour autant que je me souvienne, les variables sont séparées et f(x,t) se présente sous la forme (x) (t).
Je mettrais plutôt quelque chose comme
Merci.
Il me semble bien avoir vu cette expression quelque part.
Comment démontrer que cette intuition est bonne? Peut être faudrait-il montrer que la fonction dépendante du temps est également solution d'une équation de Schrödinger... Mais laquelle?
Il faut prendre l'équation de Schrödinger dépendante du temps, je pense.
Je dirais même que c'est plutôt
Je vais donc essayer d'arriver à ce résultat.
Pour l'instant, j'ai écris l'équation de Schrodinger dépendante du temps, et j'ai remplacé n(x,t) par un produit n(x)fn(t).
Je voudrais obtenir une équation différentielle et ensuite la résoudre.
Cela donne:
-h²/2m n(x) (
²f(t) / ²t) = ih n(x) (f(t) / t)
Ou h est le h "barré" que je n'arrive pas à écrire sur mon post...
Le problème c'est que je n'ai plus que des t et pas de x, ce n'est plus une équation différentielle... Je pense m'être trompé.
Qu'en pensez vous?
Merci.
Bonjour,
Pour la réponse temporelle, il faut faire : réponse stationnaire*exp(-iEn*2pi/h)
Je n'ai pas le temps de vous faire la démo. Mais si ça vous intéresse, je peux le reprendre dans l'après midi.
Cordialement.
BS
c'est un résultat de cours, qui provient de la définition même d'état stationnaire i.e. dont la probabilité ne dépend pas du temps, donc la dépendance temporelle est nécessairement dans l'argument de l'exp imaginaire!
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