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Paroi plane avec source volumique - Thermique

Posté par
cercus 22-02-19 à 13:31

Bonjour, me revoici avec un exercice dont je ne comprend pas la correction.

Voici l'énoncé :

Une paroi plane d'épaisseur e et de conductivité thermique est isolée sur sa face situé en x = 0 et l'autre face échange de la chaleur par convection avec le milieu extérieur à T au prorata d'un coefficient d'échange h. En outre cette paroi est le siège d'une source de chaleur volumique q''' = q0''' *cos(x/2e)  avec q0''' une constante. Il est demander de déterminer les expressions de la distribution de température, des températures sur les 2 faces ainsi que de la densité de flux.

Ce que j'ai fais :

Equation de la chaleur dans le cas général : \rho c(\frac{\partial T}{\partial t} + \vec{v} \vec{grad}(T)) = \lambda\Delta T + P

On se place en stationnaire, en 1 dimension, avec une source q''' et sans vitesse. L'equation de la chaleur devient donc 0 = \lambda\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + q''' <=> \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = -q'''/\lambda

En intégrant 2 fois, on obtient T(x) = \frac{q_{0}'''}{\lambda}(\frac{2e}{\pi})^{2}cos(\frac{\pi x}{2e}) + Ax + B avec A et B 2 constantes à déterminer avec les conditions initiales et conditions aux limites.

Conditions initiales et aux limites :

T(x = 0) = 0 et -\lambda\frac{\partial T}{\partial x}|_{x = e} = -hT_{oo} (Je ne suis pas sûr que ça soit ça)

Avec ces conditions, on trouve que T(x) = \frac{q'''_{0}}{\lambda}(\frac{2e}{\pi})²cos(\frac{\pi x}{2e}) +(\frac{h}{e}T_{oo}+\frac{q'''_{0}}{\lambda} \frac{2e}{\pi})x - \frac{q'''_{0}}{\lambda} (\frac{2e}{\pi})²

Mais dans le livre, ils ont T(x) = \frac{q'''_{0}}{\lambda}(\frac{2e}{\pi})²cos(\frac{\pi x}{2e}) +\frac{q'''_{0}}{\lambda}\frac{2e}{\pi}+ T_{oo}

-> J'ai l'impression que mon erreur vient de ma seconde condition mais je n'ai pas d'autres idées pour la deuxième condition.

Posté par
vanoisere : Paroi plane avec source volumique - Thermique 22-02-19 à 13:45

Bonjour

Petite remarque préliminaire : ici T ne dépend que de x. On peut donc raisonner sur les dérivées par rapport à x et non les dérivées partielles.

Effectivement : pas d'accord avec une de tes conditions aux limites. L'énoncé précise que la plaque est parfaitement isolée sur sa face en x=0. La densité de flux thermique en x=0 est donc nulle. La loi de Fourier conduit à :

\left(\dfrac{dT}{dx}\right)_{x=0}=0

Posté par
cercusre : Paroi plane avec source volumique - Thermique 22-02-19 à 14:02

Le problème et qu'avec \left(\dfrac{dT}{dx}\right)_{x=0}=0  et -\lambda\frac{\partial T}{\partial x}|_{x = e} = -hT_{oo} , je trouve une incompatibilité dans mon systeme : en effet, je trouve 2 valeurs de A différents. (B est dans ce cas = 0)

Posté par
vanoisere : Paroi plane avec source volumique - Thermique 22-02-19 à 14:27

Autant pour moi : mon raisonnement aurait été correct seulement avec q'''=0 en x= 0
Puisque q'''=q'''o en x=0, tu connais la dérivée seconde de T par rapport à x en x=0.

Posté par
cercusre : Paroi plane avec source volumique - Thermique 22-02-19 à 14:35

\frac{d²T}{dx²} = \frac{q'''_{0}}{\lambda}cos(\frac{\pi x}{2e}) et en x = 0, on a q'''0/

Posté par
cercusre : Paroi plane avec source volumique - Thermique 22-02-19 à 15:10

mais cela ne m'avance à rien...

Posté par
vanoisere : Paroi plane avec source volumique - Thermique 22-02-19 à 19:54

Tu as peut-être commis une etourderie en recopiant l'expression de T(x) fournie par le corrigé.  Elle est fausse : défaut d'homogénéité .

Posté par
cercusre : Paroi plane avec source volumique - Thermique 22-02-19 à 20:03

C'est pas 2*q'''0*e/ mais 2*q'''0*e/h

Posté par
vanoisere : Paroi plane avec source volumique - Thermique 22-02-19 à 23:32

Bonsoir
Pour plus de clarté, je reprends à zéro l'étude des conditions limites car, je le reconnais volontiers, je n'ai pas toujours été bien clair. Contrairement à ce que j'ai écrit dans mon message du 22-02-19 à 13:45, ce sont tes deux conditions aux limites qui sont fausses et pas une seule.

Condition en x = 0 : existence ou non de source volumique de chaleur, la parfaite isolation thermique en x=0 interdit tout transfert thermique à travers la face en x=0. Comme déjà dit, cela conduit à :

\left(\dfrac{dT}{dx}\right)_{x=0}=0

ce qui conduit à A=0.

Condition en x= e. La loi de Newton sur la convection conduit à :

-\left(\lambda\frac{dT}{dx}\right){}_{x=e}=h.\left(T_{(e)}-T_{\infty}\right)

Désolé de ne pas avoir relevé l'erreur plus tôt ! Cela donne :

\\ q'''_{o}\cdot\left(\frac{2e}{\pi}\right)=h.\left(B-T_{\infty}\right)

B=T_{\infty}+q_{o}'''\cdot\left(\frac{2e}{\pi.h}\right)

D'où l'expression finale recherchée :

T_{(x)}=\frac{q'''_{0}}{\lambda}(\frac{2e}{\pi})^{2}.cos(\frac{\pi x}{2e})+T_{\infty}+q_{o}'''\cdot\left(\frac{2e}{\pi.h}\right)

Ce que j'ai écrit concernant le raisonnement sur la dérivée seconde de T par rapport à x est exact mais n'apporte rien de neuf au problème.


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