Niveau licence

Oscillations harmoniques

Posté par
happy1 08-04-19 à 18:48

Bonjour,

Pourriez vous vérifier mes réponses au problème suivant ? Voici l'énoncé:

Une personne pesant 60 kg fait du saut à l'élastique du haut d'un pont. Le pont fait 20 m de haut; l'élastique a une longueur à vide l₀ = 8 m et une constante de raideur k = 240 N.m^-1

a. Préciser dans quelle condition le mouvement du sauteur à l'élastique peut être décrit par l'équation: $\ddot{x}+{\omega _{0}}^2x = 0$
La solution de l'équation est de la forme   $X_{0}sin(\omega _'0}t+\phi )$

b. Donner les conditions initiales permettant de trouver X₀ et $\phi$
c. Quelle est la période des oscillations ?
d. Quelle est l'amplitude des oscillations ?
e.Quelle est la masse maximale autorisée pour un saut à l'élastique dans ces conditions?

Voici mes réponses:

a. Le mouvement du sauteur peut être décrit par cette équation si :

_Ie sauteur oscille autour d'une position d'équilibre stable
_Les oscillations ne sont pas amorties

b. La solution de l'équation est de la forme   $X_{0}sin(\omega _'0}t+\phi )$

On en déduit les conditions initiales:

$\left\lbrace\begin{matrix} x(t=0) = X_{0}sin(\phi )\\\dot{ x}(t=0) = \omega _{0}X_{0}cos(\phi ) \end{matrix}\right.$

c.Période des oscillations :

Soit m la masse du sauteur, k la constante de raideur de l'élastique :

$\omega _{0} = \frac{2\pi }{T_{0}} \leftrightarrow T_{0} = 2\Pp\sqrt{\frac{m}{k}} = \pi s$

d.Amplitude des oscillations

Déterminons la position d'équilibre x_eq du sauteur :

$\sum{F_{ext}} = \vec{0} \rightarrow -k(x_{eq}-l_{0})+mg = 0\\ \\ x_{eq} = \frac{60 \times 9,81}{240}+8 = 10m$

On en déduit l'amplitude:

$X_{0} = x_{eq} -l_{0}=2m$

e. On définit l'allongement maximal l_max de l'élastique :

$l_'max} = x_{max}-l_{0}$

Avec: x_max = $X_{0}sin(\omega _{0}+\phi ) \leftrightarrow sin(\omega _{0}+\phi ) = 1$

Donc : $x_{max} = X_{0}$

Déterminons la masse maximale autorisée :

$\sum{F_{ext}} = \vec{0} \rightarrow -kl_{max}+mg = 0$

D'où :   $m = \frac{k\times l_{max}}{g} = \frac{8\times 240}{9,81} = 200kg$

Notre professeur a noté qu'il faudrait tenir compte de la vitesse du sauteur, mais je ne vois pas comment faire sans introduire des forces de frottement (incompatible avec l'équation différentielle).

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par re : Oscillations harmoniques 10-04-19 à 19:14

Bonsoir
Juste quelques éléments de réponse.
1. Parmi les conditions de validité de l'équation différentielle, il faut ajouter  :
origine des abscisses à la position d'équilibre. La longueur L de la corde étant ainsi  :
L=Le +x
Évidemment cette équation n'est valide que si la corde est tendue, ce qui suppose :
L>Lo
2. Remarque sur les applications numériques  :
Poser T= s
est une aberration sévèrement jugée un jour de concours ou d'examen. Compte tenu du contexte, il faut arrondir à 3 chiffres significatifs  :
T=3,14s. Les autres applications numériques doivent aussi être arrondies à 3 chiffres significatifs.
3. Considérer que l'amplitude est la différence (Le -Lo ) est faux. Cela suppose une vitesse nulle en L=Lo, ce qui est faux. Le plus simple à mon avis consiste à appliquer la conservation de l'énergie mécanique entre la position de départ de vitesse nulle avec L=0 et la position la plus basse correspondant à une vitesse nulle et à une longueur de corde L=L_max.
Je te laisse réfléchir et continuer.

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