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Oscillations en mécanique

Posté par
Astria 22-04-12 à 19:17

Bonjour, j'aurais besoin d'un peu d'aide pour un exercice de mécanique.
Voici l'énoncé :
Soit un pendule simple constitué d'un fil inextensible de longueur L et d'un systeme accroché quasi-ponctuel de masse m et de charge q.
Lorsqu'il est en mouvement, le système est soumis à des forces de frottement fluides peu importants de la forme f = -k et lorsque le champ électrique est allumé, il est soumis à une force supplémentaire F = qE
orthogonale à g.
est l'angle entre la verticale et l'axe er

J'ai déjà résolu la partie lorsque le champ est éteint, les questions 1 et 2.

Pour t<0, le pendule est dans la position d'équilibre de la phase précédente soit = 0. A t=0, on allume le champ électrique constant et uniforme de sorte que E = E0ex avec E0, une constante

3) Donnez l'énergie potoentielle associée à la force électrique. je trouve Ep = qLsin

4) Donnez la position d'équilibre de cette nouvelle phase en utilisant les énergies potentielles. Je trouve = /2(q-mg)

5) Trouvez l'angle maximal atteint. L'exprimer en fonction de m,g,q et E0, puis de l'angle d'équilibre.

Je ne sais pas quoi utiliser pour trouver l'angle maximal.

Merci d'avance de votre aide !

Posté par
athrunre : Oscillations en mécanique 23-04-12 à 12:35

Bonjour,

pour trouver \Large E_{pe} l'énergie potentielle "électrique", on écrit que :

\Large\delta W(\overrightarrow{F_e})=-\text{d}E_{pe}=\overrightarrow{F_e}.\text{d}\vec{\ell}=qE_0(\cos\theta\vec{u}_\theta+\sin\theta\vec{u}_\theta).L\text{d}\theta\vec{u}_\theta=qLE_0\cos\theta\text{d}\theta=-\text{d}(-qLE_0\sin\theta)

Donc \Large E_{pe}(\theta)=-qLE_0\sin\theta à une constante près.

Tu peux te rendre compte de tes erreurs par la non homogénéité de tes expressions. Par exemple pour la position d'équilibre, tu sommes q avec mg c'est-à-dire que tu sommes des Coulombs avec des Newton = problème.

Recalcules la nouvelle position d'équilibre, et fais du qualitatif dessus :

si E_0 augmente alors \theta_{eq} va avoir tendance à augmenter, etc ...

Posté par
athrunre : Oscillations en mécanique 23-04-12 à 12:37

oups, une bourde : pour \Large\overrightarrow{F_e} il faut lire \Large\overrightarrow{F_e}=qE_0(\cos\theta\vec{u}_\theta+\sin\theta\red{\vec{u}_r})

Posté par
Astriare : Oscillations en mécanique 23-04-12 à 19:19

Ah oui ! J'avais oublié E0.
Comme nouvelle position d'équilibre je trouve = arctan(qE0/mg)
Mais comment peut-on faire varier E0 puisque c'est une constante ?

Posté par
Astriare : Oscillations en mécanique 23-04-12 à 19:21

Euh petite erreur ! Position d'équilibre = arctan(qLE0/mg) !

Posté par
athrunre : Oscillations en mécanique 23-04-12 à 20:34

Non tu as bel et bien \Large\theta_{eq}=\text{arctan}\frac{qE_0}{mg}

Encore une fois vérifié l'homogénéité : ce qui est à l'intérieur du arctan doit être sans dimension c'est-à-dire que qE0 et mg doivent avoir la même dimension : c'est bien le cas, ce soint tous deux des forces.

Maintenant oui E0 est une constante, mais regardons la formule de eq de plus près.

Supposons que dans une autre situation, le champ électrique a pour valeur \Large E_0' avec \Large E_0'>E_0.

Alors \Large\theta_{eq}'=\text{arctan}\frac{qE_0'}{mg}>\theta_{eq}.

Ce qui s'explique : le champ étant plus fort, le pendule est plus attiré par la droite donc augmente.

On peut faire plus simple :

si E0=0 alors =0 ce qui correspond bien à la réalité : le pendule n'étant soumis qu'à son poids, il pendouille.

si E0 +, alors /2, le champ est tellement fort que le poids est négligeable et le pendule est entièrement dirigé vers la direction du champ ie vers la droite.

Tout ceci consiste en fait à analyser l'exactitude de la formule.


Revenons au mouvement : quelles sont les conditions initiales ?

Posté par
Astriare : Oscillations en mécanique 23-04-12 à 21:03

Pour t=0 = 0.

Posté par
athrunre : Oscillations en mécanique 23-04-12 à 23:01

et \Large\dot{\theta} ?

Posté par
Astriare : Oscillations en mécanique 24-04-12 à 00:31

ça vaut aussi 0 non ? Comme on est à l'équilibre, le pendule est immobile.

Posté par
athrunre : Oscillations en mécanique 24-04-12 à 10:06

C'est les conditions initiales auxquelles je faisais allusion :

bref on va avoir besoin d'équations.

Si on écrit que l'énergie mécanique est constante on obtient :

\Large -qLE_0\sin\theta-mgL\cos\theta+\frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2=\text{Cte}

Il nous faut la valeur de la constante qu'on obtient grâce aux conditions initiales.

Posté par
Astriare : Oscillations en mécanique 24-04-12 à 12:39

pour la constante, je trouve - mgL

Mais quand on arrive à l'angle maximal, l'énergie cinétique est nulle donc on peut écrire :

  - qLE0sinmax - mgLcosmax= - mgL  

et donc max = arctan( - mg/qE0)

Posté par
Astriare : Oscillations en mécanique 24-04-12 à 13:24

par contre je ne vois pas comment l'exprimer en fonction de eq...

Posté par
athrunre : Oscillations en mécanique 24-04-12 à 16:04

Voilà :

\Large qE_0\sin\theta_{max}+mg\cos\theta_{max}=mg

\Large\frac{qE_0}{mg}\sin\theta_{max}+\cos\theta_{max}=1

\Large\tan\theta_{eq}\sin\theta_{max}+\cos\theta_{max}=1

\red\Large\frac{1}{\sin\theta_{max}}(1-\cos\theta_{max})=\tan\theta_{eq}

je sais pas si on peut faire mieux ?

Posté par
Astriare : Oscillations en mécanique 27-04-12 à 18:35

Désolée de mon silence mais j'ai eu quelques problèmes de connexion internet.

Je ne crois pas.
Moi, j'arrive à  : max = arctan( -1/taneq)

Je ne sais pas ce qu'il est mieux de dire.

Par contre j'aurais une autre question : dans la suite de l'exercice, on m'a demandé de trouver l'équation du mouvement grâce au TMC et de la résoudre pour de petites oscillations.

Je trouve pour l'équation :
d2/dt2 + (kL/m)(d/dt) + gsin/L - qE0cos/m = 0

et comme fonction = (qLE0/m)e-t (1 - cos(t))           avec = k/2m , w02 = g/L et [/sup] = w02 - 2.

Et on me demande de retrouver les résultats des questions 4 et 5 avec cette fonction. Mais dans mes calculs, je ne vois pas quoi utiliser, notamment pour la condition d'équilibre.
J'ai essayé de dériver et de voir, mais ce n'est pas très concluant...

Posté par
athrunre : Oscillations en mécanique 28-04-12 à 16:52

Comment trouves-tu \theta_{max}=\text{arctan}(-\frac{1}{\tan\theta_{eq}}}) ? Dans ton message de 12:39 la première ligne est correcte, comment passes-tu à la seconde ?

Je trouve :

\Large\ddot{\theta}+\frac{k}{m}\dot{\theta}-\frac{qE_0}{mL}\cos\theta+\frac{g}{L}\sin\theta=0

vérifie tes constantes pour commencer s'il te plaît

Posté par
Astriare : Oscillations en mécanique 28-04-12 à 20:54

je vois. mais d'abord une petite question : comment on fait pour dessiner la dérivée avec les points ? et les vecteurs ? et les fractions ?
J'ai pas réussi à trouver...

Posté par
athrunre : Oscillations en mécanique 28-04-12 à 22:48

ce que tu veux taper en mathématiques, tu l'écris entre les balises [ tex ] [ /tex ] (sans espaces avec les crochets)

quelques exemple :

\theta    \theta
\frac{a}{b}    \frac{a}{b}
a^2     a^2
a_0     a_0
\dot{\theta}    \dot{\theta}
\ddot{\theta}    \ddot{\theta}

Posté par
Astriare : Oscillations en mécanique 01-05-12 à 18:30

pour \thetamax je fais :

\frac{mg}{qE_0}cos\thetamax + sin\thetamax = 0
tan\thetamax = -\frac{mg}{qE_0}
\thetamax = arctan(-\frac{mg}{qE_0})

Posté par
Astriare : Oscillations en mécanique 01-05-12 à 18:36

merci pour les symboles !!

et ma fonction est maintenant = \frac{qE_0}{mg} e-t(1_cos(t)

Posté par
Astriare : Oscillations en mécanique 03-05-12 à 22:51

Euh..., j'ai un petit problème avec max.
Je viens de me rendre compte que j'avais fait une erreur et du coup, je bloque à

\frac{qE_0}{mg}sinmax + cosmax = 1

je ne vois pas comment sortir max ...

Posté par
athrunre : Oscillations en mécanique 06-05-12 à 13:26

Désolé pour mon retard (je passais les concours )

Voilà on obtient la même expression pour \theta_\text{max} qui ne simplifie pas tellement ... (voir mon message de 16h04)

Sinon revenons à l'équation obtenue grâce au TMC :

\Large\ddot{\theta}+\frac{k}{m}\dot{\theta}+\frac{g}{L}\sin\theta=\frac{qE_0}{mL}\cos\theta
pour de petites oscillations, au premier ordre en \theta, on obtient :

\Large\ddot{\theta}+\frac{k}{m}\dot{\theta}+\frac{g}{L}\theta=\frac{qE_0}{mL}

Le polynôme caractéristique de l'équation différentielle homogène est :

\Large X^2+\frac{k}{m}X+\frac{g}{L} de discriminant \Large\Delta=\frac{k^2}{m^2}-4\frac{g}{L}

Si \Delta>0 on a par exemple \Large x_{\pm}=\frac{-\frac{k}{m}\pm\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{k}{2m}\left(-1\pm\sqrt{1-4\frac{gm^2}{Lk^2}}\right)

et \Large\theta(t)=e^{-\frac{k}{2m}t}\left(A\cos\frac{1}{2}\sqrt{\Delta}t+B\sin\frac{1}{2}\sqrt{\Delta}t\right)+\frac{qE_0}{mg}

Posté par
Astriare : Oscillations en mécanique 06-05-12 à 16:43

Grâce à cette fonction, j'arrive à trouver max = \frac{2qE_0}{mg}

Mais je ne vois pas comment trouver eq juste avec la fonction...

Posté par
Astriare : Oscillations en mécanique 06-05-12 à 17:33

Autre question, l'énergie potentielle de pesanteur est bien E_{pp}  = mgL(1 - cos)??

Posté par
athrunre : Oscillations en mécanique 07-05-12 à 20:31

oui E_{pp}=-mgL\cos\theta à une constante près.

Tu trouves pour les constantes A et B ?

Je trouve \Large A=-\frac{qE_0}{mg} et \Large B=\frac{kA}{m\sqrt{\Delta}}.


N'essaie pas de retrouver le \theta_{max} d'avant car pour obtenir l'équation de l'énergie mécanique (ou intégrale première du mouvement) on a négligé la force de frottements, ce qu'on a pas fait pour le TMC.


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