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oscillations de systèmes à plusieurs degré de liberté

Posté par
mikel83 17-03-18 à 16:49

Bonjour!
On étudie les petites oscillations libres d'un système mécanique à s degrés de libertés.
On pose que l'énergie potentielle U en fonctions des coordonnées généralisées q_i passe par un minimum pour q_i =q_i0.
On introduit les petits déplacements x_i=q_i-q_i0 et on développe par rapport aux x_i, aux infiniment petits du second ordre près.
Je ne comprends pas pourquoi, si nous comptons l'énergie potentielle à partir de sa valeur minimum, on a (voir pj)

oscillations de systèmes à plusieurs degré de liberté

Posté par re : oscillations de systèmes à plusieurs degré de liberté 17-03-18 à 20:08

Bonjour,

Citation :
Je ne comprends pas pourquoi, si nous comptons l'énergie potentielle à partir de sa valeur minimum, on a (voir pj)

Je ne comprends pas exactement ce qui t'embêtes. Dans le doute je refais brièvement une démo:

On considère un potentiel $U({\bf q})$ possédant s degrés de libertés.
On admet que le système possède une position d'équilibre stable (c'est l'oscillateur harmonique).
Ecrivons son développement limité à l'ordre 2 au voisinage des positions d'équilibres (il y en a s) $q_{i0}$ : $U({\bf q}) = U(q_{i0}) +\sum_{i} \frac{\partial U({\bf q})}{\partial q_{i}}|_{q_{i} = q_{i0}} x_{i} +\sum_{i,k} \frac{1}{2}\frac{\partial^{2} U({\bf q})}{\partial q_{i} \partial q_{k}}|_{q_{i}=q_{i0},q_{k} = q_{k0}} x_{i} x_{k}$
où ma notation en gras désigne une grandeur à s dimension.
Or comme nous sommes dans une position d'équilibre, le terme en dérivée première vaut zéro. De plus le terme de dérivée seconde sera simplement écrit $k_{ik}$
Et par changement de repère, on se centre sur $U(q_{i0})$ c'est donc l'origine de notre repère multidimensionnel (on le prend égal à 0). On obtient l'expression annoncée.

Note : De plus comme il s'agit d'une position d'équilibre stable, la dérivée d'ordre 2 est forcément positive donc $k_{ik} > 0$ pour tout i et k.

Posté par re : oscillations de systèmes à plusieurs degré de liberté 17-03-18 à 20:30

Super! Là je comprends bien ...
Merci pour ton aide,
Cordialement, Mikel

Posté par re : oscillations de systèmes à plusieurs degré de liberté 17-03-18 à 20:37

De rien.

Posté par re : oscillations de systèmes à plusieurs degré de liberté 18-03-18 à 08:54

Bonjour!
Juste une petite question complémentaire concernant ta note: pourquoi , comme il s'agit d'une position d'équilibre stable, la dérivée d'ordre 2 est forcément positive ?

Posté par re : oscillations de systèmes à plusieurs degré de liberté 18-03-18 à 11:52

Citation :
comme il s'agit d'une position d'équilibre stable, la dérivée d'ordre 2 est forcément positive ?

Oui, si j'écris encore un développement limité à l'ordre 2 en annulant la dérivée première (car nous sommes à un minimum) on a bien : $U({\bf q}) - U({\bf q_{0}}) = \frac{1}{2} \sum_{i,k} k_{i,k} x_{i} x_{k}$ . Où ${\bf q}$ est une position proche de ${\bf q_{0}}$ .
Or comme c'est une position d'équilibre stable, nous sommes à un minimum du potentiel, donc en se plaçant en une position ${\bf q}$ proche (perturbation) de la position d'équilibre ${\bf q_{0}}$ le potentiel en ${\bf q}$ est forcément plus grand que le potentiel en ${\bf q_{0}$ et $x_{i}$ ainsi que $x_{k}$ seront aussi positifs. Donc on a bien un $k_{i,k}$ c'est à dire la dérivée seconde évaluée en l'équilibre qui est positif. Cela est très général. Position d'équilibre stable --> Dérivée d'ordre 2 positive, si instable --> Dérivée d'ordre 2 négative (évaluée à la position d'équilibre bien sûr.)

Posté par re : oscillations de systèmes à plusieurs degré de liberté 18-03-18 à 11:57

Précision,

Citation :
et $x_{i}$ ainsi que $x_{k}$ seront aussi positifs.

Sauf si on se place en un point selle, c'est à dire si je considère cette fois une surface de potentielle et que selon un degré de liberté on a un maximum mais selon un autre degré de liberté on a un minimum (car ici on a plusieurs degrés de libertés, ça peut arriver).
Je suppose donc qu'on est bien dans le cas d'oscillations harmoniques donc on considère une surface de potentielle qui a un magnifique minimum globale pour tous les degrés de libertés.

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