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Oscillations d'un système masse ressort
Bonjour,
On dispose de 2 billes M1 et M2 de masses m1 et m2 reliés par un ressort de raideur k
A t=0, on donne une vitesse v0 à M1
Déterminer l(t) (longueur du ressort à l'instant t)
Donc tout d'abord, l'allongement du ressort vaut l=x2-x1 (x2 : position du ressort M2 et x1 : position du ressort M1)
On a alors
Donc
Si l'équation différentielle est juste, la solution devrait être en Acos(wt+P)+l0 et dans la solution, la solution est de la forme Asin(wt)+l0
Où est l'erreur ?
Merci
Skops
l'erreur, c'est que tu ne t'es rien fixé à l'avance.
On commence par fixé l'origine du repère.
Et ce repère doit être galiléen, ici d'origine fixe.
En écrivant ton ED, c'est comme si tu disais que la masse 1 était l'origine (alors qu'elle bouge) et tu appliques le PFD sur la masse 2.
Refais tes calculs à nouveau plus sereinement, tu verras que tu dois passer par deux ED et obtenir un système couplé.
Je peux fixer l'origine n'importe où ?
Pour les 2 ED, une pour la masse m1 et l'autre pour la masse m2 ?
Skops
oui oui exactement!
pour l'origine, tu choisis quelque chose du type : On fixe O là où la masse M1 est localisée à t=0. Histoire de faciliter l'application des conditions initiales.
Bah je viens de reprendre un exo que j'avais fait avec le même système et on étudiait l'équation différentielle en X(t) avec X=x2-x1 et on en déduisait x1(t) et x2(t) donc avec une seule ED
Qu'est ce qui change ici pour avoir à en faire 2 ?
Skops
y a rien qui change ! tu fais tes calculs, tu obtiens ton système d'ED, et tu verras qu'il y a une technique de résolution qui consiste, par exemple, à faire la différence entre les deux lignes de ton système qui se ramène justement à la résolution de l'ED en X(t)
Euhhh, oui mais à condition que tu ais fait les repères non galiléens.
Dans ce cas là tu appliques le PFD dans le repère d'origine M1 appliqué à M2, tu calcules la force d'inertie d'entraînement (facile) (y a pas d'accélération de Coriolis)
Je m'aperçois que j'ai croisé M1 et M2 dans tout ce qui suit, il faudra donc croiser tous les repères 1 et 2.
Choix du repère.
Axe des abscisses = axe du ressort.
et x1(0) = 0 et x2(0) = Lo
F = m1.d²x1/dt² = -m2.d²x2/dt² = k(x2-x1-Lo)
m1.dv1/dt = -m2.dv2/dt
v1(t) = K - (m2/m1).v2(t)
v1(0) = 0 et v2(0) = vo
--> K = (m2/m1).Vo
v1(t) = (m2/m1).(Vo - v2(t))
dx1/dt = (m2/m1).Vo - (m2/m1).dx2/dt
x1(t) = (m2/m1).Vo.t - (m2/m1).x2(t) + K1
et avec les conditions en 0 -->
0 = 0 - (m2/m1).Lo + K1
K1 = (m2/m1).Lo
x1(t) = (m2/m1).Vo.t - (m2/m1).x2(t) + (m2/m1).Lo
x2 - x1 - Lo = x2 - (m2/m1).Vo.t + (m2/m1).x2(t) - (m2/m1).Lo - Lo
kx2 - k(m2/m1).Vo.t + k(m2/m1).x2 - k(m2/m1).Lo - kLo = -m2.d²x2/dt²
k.x2.(m1+m2)/m1 - k.(m2/m1).Vo.t - Lo.k.(m1+m2)/m1 = -m2.d²x2/dt²
d²x2/dt² + [k.(m1+m2)/m1].x2 = (k/m1).Vo.t + Lo.k.(m1+m2)/(m1.m2)
Sol particulière de l'équation : x2 = Lo + [(m2.Vo)/(m1+m2)].t
Et sol de l'équation avec 2d membre = 0 --> x2 = C1 sin(V(k.(m1+m2)/(m1.m2))t) + C2.cos(V(k.(m1+m2)/(m1.m2))t)
Solution générale:
x2(t) = Lo + [(m2.Vo)/(m1+m2)].t + C1 sin(V(k.(m1+m2)/(m1.m2))t) + C2.cos(V(k.(m1+m2)/(m1.m2))t)
et avec x2(0) = Lo --> c2 = 0
x2(t) = Lo + [(m2.Vo)/(m1+m2)].t + C1 sin(V(k.(m1+m2)/(m1.m2))t)
Avec dx2/dt(0) = Vo --> C1 = Vo.[m1/(m1+m2)].V(m1m2/(k(m1+m2))
x2(t) = Lo + [(m2.Vo)/(m1+m2)].t + Vo.[m1/(m1+m2)].V(m1m2/(k(m1+m2)) * sin(V(k.(m1+m2)/(m1.m2))t)
Delta L = x2 - x1 - Lo
Delta L = x2 + (m2/m1).Vo.t + (m2/m1).x2(t) - (m2/m1).Lo - Lo
Et en remettant l'expression trouvée pour x2 dans celle de delta L, presque tout se simplifie et on arrive à :
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Inutile de dire que je n'ai rien relu. 
Il y a probablement aussi plus direct.
Sauf distraction.
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