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Oscillations d'un système

Posté par
Ariel60 10-01-18 à 10:10

Bonjour,j'ai une question avec ce problème:
Déterminer les oscillations du système à 2 degrés de liberté de lagrangien L=(1/2m)[x'^2+y'^2-wo^2(x^2+y^2)+2\lambda xy [tex] \\ où m,wo et lambda sont des constantes.Chercher une solution du type x=Acos(wt+phi) et y=Bcos(wt+phi) \\ Après avoir trouvé les équations du mouvement du système et les pulsations propres qui sont [tex]w1=\sqrt{wo^2-\lambda}
et w2=\sqrt{wo^2+\lambda}, je devrai trouver A et B,
Je ne comprends pas pourquoi mon corrigé trouve miraculeusement pour w1:
A=1 et B=1 ,et les vecteurs\vec{U_1}=(1,1) ,\vec{u_1}=(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})
D'où viennent ces vecteurs??
Après cela il déduit
x1=(1/√2)cos (w1 t+phi),y1=(1/√2)cos(w1 t+phi)
Il en est de même pour w2..
J'espère que mes questions ont été vraiment claires..
Merci encore

Posté par
Ariel60re : Oscillations d'un système 10-01-18 à 10:12

Bonjour,j'ai une question avec ce problème:
Déterminer les oscillations du système à 2 degrés de liberté de lagrangien L=(1/2m)[x'^2+y'^2-wo^2(x^2+y^2)+2\lambda xy
où m,wo et lambda sont des constantes.Chercher une solution du type x=Acos(wt+phi) et y=Bcos(wt+phi)
Après avoir trouvé les équations du mouvement du système et les pulsations propres qui sont w1=\sqrt{wo^2-\lambda}
et w2=\sqrt{wo^2+\lambda}, je devrai trouver A et B,
Je ne comprends pas pourquoi mon corrigé trouve miraculeusement pour w1:
A=1 et B=1 ,et les vecteurs\vec{U_1}=(1,1) ,\vec{u_1}=(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})
D'où viennent ces vecteurs??
Après cela il déduit
x1=(1/√2)cos (w1 t+phi),y1=(1/√2)cos(w1 t+phi)
Il en est de même pour w2..
J'espère que mes questions ont été vraiment claires..
Merci encore
(Toutes mes excuses pour le double post )

Posté par
vanoisere : Oscillations d'un système 10-01-18 à 12:09

Bonjour
L'énoncé fournit sans doute des renseignements sur l'état de l'oscillateur à la date t=0.
Une copie intégrale de l'énoncé permettrait une aide plus efficace !

Posté par
Ariel60re : Oscillations d'un système 10-01-18 à 12:26

Bonjour,
Malheureusement l'énoncé n'en a pas donné...
Je ne comprends pas d'où viennent les expressions des vecteurs U1 et u1

Posté par
vanoisere : Oscillations d'un système 10-01-18 à 14:48

L'oscillateur est décrit par deux équations différentielles couplées :

\begin{cases} \\ \ddot{x}=-\omega_{0}^{2}.x+\lambda.y\\ \\ \ddot{y}=-\omega_{0}^{2}.y+\lambda.x \\ \end{cases}

Pour le mode propre \omega=\omega_{1}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\lambda}, il est facile de démontrer :

x_{1}=y_{1}\;\forall t
donc :

x_{1}=y_{1}=A.\cos\left(\omega_{1}.t+\varphi\right)
Dans le plan (Ox,y) le point M(x,y) se déplace sur la première bissectrice. Le vecteur \overrightarrow{OM} est à chaque instant colinéaire au vecteur unitaire : \overrightarrow{u_{1}}=\frac{\overrightarrow{U_{1}}}{\Vert\overrightarrow{U_{1}}\Vert} :

\overrightarrow{OM}=A.\cos\left(\omega_{1}.t+\varphi\right)\cdot\overrightarrow{u_{1}}
Impossible de démontrer A=1 sans renseignement complémentaire à mon avis.
Remarque : le mode propre \omega=\omega_{2}=\sqrt{\omega_{0}^{2}+\lambda} correspond à : x_{2}=-y_{2}\;\forall t

Évidemment, tout cela est sous réserve... Sans un énoncé intégral...

Posté par
Ariel60re : Oscillations d'un système 10-01-18 à 15:45

Re,
L'énoncé ne donne pas plus d'informations...
Mon corrigé dit que:
"Pour w1: \lambda=(w_o^2-w_1^2),alors \lambda A-\lambda B=0
A=1 implique B=1
\vec{U_1}=(1,1); \vec{u_1}=(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})"
J'ai le système d'équations:(w_o^2-w^2)A-\lambda B=0; -\lambda A +(w_o^2-w^2)B=0
Cordialement.

Posté par
vanoisere : Oscillations d'un système 10-01-18 à 16:42

Ton corrigé manque de rigueur.
Si .A=.B avec 0,
Alors A=B ,
pas nécessairement : A=B=1 !

Posté par
vanoisere : Oscillations d'un système 10-01-18 à 16:44

Ton corrigé manque de rigueur.
Si .A=.B avec 0,
Alors A=B ,
pas nécessairement : A=B=1 !
Comme déjà dit, il faudrait des renseignements supplémentaires pour déterminer la valeur commune à A et B et pour déterminer .

Posté par
vanoisere : Oscillations d'un système 10-01-18 à 16:57

Je viens de réaliser que j'ai commis une étourderie dans une formule, sans doute sans conséquence pour cet exercice, mais je préfère rectifier :

\overrightarrow{OM}=A.\cos\left(\omega_{1}.t+\varphi\right)\cdot\overrightarrow{U_{1}}=\frac{A}{\sqrt{2}}\cdot\cos\left(\omega_{1}.t+\varphi\right)\cdot\overrightarrow{u_{1}}
En posant A=1, tu obtiens le résultat de ton corrigé...

Posté par
Ariel60re : Oscillations d'un système 10-01-18 à 19:27

Bonsoir,
Mais comment mon corrigé a-t il fait pour trouver les composantes de u1=(1/√2,1/√2)?...

Posté par
vanoisere : Oscillations d'un système 10-01-18 à 21:33

u1 est le vecteur unitaire ayant la direction et le sens de U1. Écrire que le vecteur OM est colinéaire à U1 résulte de l'égalité y1=x1 à chaque instant que j'ai démontré. J'insiste : après avoir démontré  x1=y1  ecrire : si A=1 alors B=1 n'est pas faux mais cela  ne démontre pas l'égalité A=1...


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