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oscillation d'un flotteur à la surface du bassin
Bonsoir,
J'aurais besoin d'aide concernant l'exercice suivant :
Enoncé :
Un flotteur cylindrique de masse volumique µ flotte à la surface de l'eau de masse volumique ρe. Le niveau supérieur du flotteur est repéré par sa cote z par rapport au niveau de la surface de l'eau. (cf image jointe)
On suppose que le diamètre D du flotteur est très grand devant sa hauteur H, de façon à éviter tout basculement. On négligera la poussée d'Archimède exercée par l'air sur la partie émergée du flotteur. On néglige aussi tout frottement dans cette question. On suppose le bassin de volume suffisamment grand pour négliger les variations du niveau de l'eau.
1.a. Exprimer la position d'équilibre zeq. A quelle condition le flotteur flotte-t-il effectivement ?
1.b. Si on perturbe l'équilibre, il apparaît des oscillations du flotteur à la surface. Ecrire l'équation différentielle du mouvement satisfaite par z(t). Exprimer la période T d'oscillation du flotteur ainsi que sa vitesse maximum vmax en fonction de l'amplitude a des oscillations et de la pulsation ωo des oscillations.
1.c. Calculer T et vmax pour µ = 500 kg.m-3, H = 0,1 m et a = 5 cm.
Concernant le mouvement du flotteur précédent, on prend maintenant en compte une légère force de frottement fluide modélisée par où α est une constante.
2.a. On définit Z = z - zeq. Etablir l'équation différentielle du mouvement satisfaite par Z(t).
2.b. L'équation ayant la forme canonique
, on admet sa solution : Z(t)=Zoe-ωot/2Q))cos(ωpt+
) avec
Si le facteur de qualité Q>>1 alors ωp≈ωo , cas dans lequel nous nous plaçons. Identifier les constantes ωo et Q et préciser leurs unités.
2.c. Au bout de trois oscillations, on constate que les oscillations du flotteur ont disparu. Quel est l'ordre de grandeur du facteur de qualité ?
Pour la 1.a j'ai trouvé :
zéq=(1-
/
e)H
ce qui me paraît cohérent
et la condition de flottaison est que le poids doit être supérieur à la poussée d'Archimède
Pour la 1b :
J'ai utilisé le principe fondamental de la dynamique : e
D(H-z)g-DHg=DHaz avec az l'accélération selon z
d'où : mais ça me paraît un peu bizarre....
Est-ce que c'est cela ?
Pour la 2b j'ai :
mais je ne vois pas comment intégré Z dans cette expression
Merci d'avance pour votre aide !
Bonjour
Remplace z par Z+zeq. Sachant par ailleurs que :
tu devrais obtenir l'équation différentielle demandée.
J'ai encore des questions :
1.b. Je pensais au départ qu'on avait une équation du type d'un oscillateur non amortie. Normalement la solution est du type acos(
ot+) mais vu que là on a un second membre je ne sais pas si c'est toujours le cas. Et j'imagine qu'il faut bien trouver cette solution pour trouver vmax en fonction de a du coup je suis bloquée.
2.a) Je n'arrive pas à trouver un second membre nul (comme dans l'énoncé de 2.b). En remplaçant dans l'équation comme tu m'as dit je trouve :
et je ne comprends pas ce qui est faux dans ce que j'ai fait.
Je détermine la condition d'équilibre en notant S l'aire de la base du cylindre. L'égalité du poids et de la poussée d'Archimède conduit à :
Après simplification :
C'est bien ce que tu as obtenu. Pour les oscillations avec frottements négligés, la RFD conduit à :
Après simplification :
Comme pour tous les oscillateurs mécaniques, il est intéressant de choisir l'origine des cotes à la position d'équilibre, ce qui revient à poser :
L'équation différentielle précédente devient :
Cela conduit à une équation différentielle de type classique :
Les simplifications sont analogues en tenant compte de la force de frottement visqueux.
J'ai oublié de répondre à la question :
je ne comprends pas ce qui est faux dans ce que j'ai fait
Dès que tu te lances dans un calcul littéral un peu long, tu as tout intérêt à vérifier au fur et à mesure l'homogénéité de tes équations ; cela permet de détecter de grosses erreurs ou étourderies.
H ayant la dimension physique d'une longueur, ne peut être soustraite qu'à une longueur, pas à un simple nombre. Écrire (1-H) est nécessairement faux. Pas de problème en revanche pour soustraire "1" à un rapport de deux masses volumiques.
Ok merci pour ces explications. Par contre j'ai du mal à comprendre l'étape clé c'est-à-dire :
Comme pour tous les oscillateurs mécaniques, il est intéressant de choisir l'origine des cotes à la position d'équilibre, ce qui revient à poser : Z=z-zéq
J'ai du mal à visualiser en quoi le fait de poser Z=z-zéq revient à considérer la position d'équilibre comme l'origine. Je sais encore une fois que c'est un truc de base mais ce n'est pas très clair pour moi. Ensuite pour T je pense que ce que j'ai trouvé est juste :
Pour trouver vmax j'ai dérivé deux fois la solution ce qui donne :
mais là on n'a pas vraiment d'information sur les conditions initiales, à moins que, si j'ai bien compris, vu que la position d'équilibre est considéré comme l'origine alors logiquement la vitesse initiale est nulle et la position initiale est connue et c'est zéq ?zeq est la valeur de z à l'équilibre. Dans ce cas particulier : Z=0... Tu as rencontré le même type de problème en étudiant l'oscillateur constitué d'un ressort vertical accroché à un crochet fixe, l'autre extrémité étant liée à un solide de masse m. Tu as tout intérêt à choisir la position d'équilibre du centre de gravité du solide comme origine des Z...
OK pour la période propre.
Pour la vitesse maximale, peut importe la phase initiale. La vitesse est maximale pour le sinus égal à 1 :
vmax=a.o
L'énoncé n'en demande pas plus.
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