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Oscillateurs forcés et amortis- Frottement visqueux
Bonjour, je reviens avec un exercice sur l'oscillation particulier.
Un objet se déplace dans l'air le long d'un axe x et subit un frottement visqueux caractérisé par un coefficient γ. Pour le moment, on suppose que l'objet ne subit aucune autre force. A l'instant initial, l'objet a une vitesse vx(0) = +v0 et part de x(0) = 0.
a. Ecrire l'équation du mouvement.
b. En supposant que la solution de l'équation est de la forme x(t) = Z exp(zt), trouver les
valeurs de z qui satisfont l'équation.
c. En utilisant la condition initiale, trouver la valeur de Z et en déduire l'expression de ´ x(t) et vx(t) adaptée a ces conditions. Quelle est la distance maximale parcourue par l'objet ? `
On suppose maintenant que l'objet subit la force de pesanteur. L'axe x est vertical et oriente vers le haut, le poids s'exprime donc −mgx̂. On suppose des conditions initiales différentes : l'objet part d'une hauteur h a vitesse nulle.
d. Ecrire l'équation du mouvement.
e. Trouver une solution quelconque xf(t) de l'équation avec second membre.
f. Ajouter à xf(t) la solution générale de l' équation sans second membre ´ xl(t) trouvée à la partie précédente puis, en utilisant les nouvelles conditions initiales, trouver l'expression de x(t) et vx(t). Vers quelle valeur tend vx(t) ? Représenter vx(t) et x(t) sur un schéma.
a)
F = ma
a=-γx'
accélération est la dérivé seconde de la position x et je pose -γ/m=
on a donc x''+ x' = 0
(#Je suis à ce moment de l'exercice un peu surpris je révise les oscillateurs et il n'y a pas de pulsation propre)
b)
=2
r1=0
r2=
Si je ne me trompe pas on est dans un cas ou le régime est apériodique donc :
x(t)=Z1e0t +Z2et
x(t)=Z1+Z2et
c)(# La on me demande de trouver LA valeur de Z mais d'après la formule j'ai 2 Z différents)
x(t)=Z1+Z2et=0
Z1+Z2=0
Z1=-Z2
x'(t)=.Z2et=+v0
Vu que la vitesse n'est pas nul, je ne sais pas vraiment comment résoudre ce problème
d)x''+x'=mg
(# je pose l'équation avec mg dans le membre de droite car j'essaie de me rapprocher de la
formule de l'oscillateur forcé )
e) A ce niveau de l'exercice je ne fais que des suppositions mais si je suis bien dans le cas d'un oscillateur forcé mg est une solution particulière de l'équation
f)x(t)=mg +Z1+Z2et
x'(t)=0
Merci par avance !
Cordialement un étudiant perplexe 
Bonjour
Je t'ai déjà fourni la méthode dans un message précédent. Tu trouveras plus de détail ici. Les notations ne sont pas tout à fait celle de ton énoncé mais il est facile d'adapter.
Oui, je pense l'avoir appliqué au mieux, mais j'ai encore quelques difficultés. Croyez moi qu'avant de poster, j'ai vraiment passé du temps pour essayer de le résoudre ce problème seul. J'ai mis de plusieurs annotations pour essayer de montrer les points qui me posent encore problèmes.
Je vais regarder le cours que vous m'avez fournis et je vais le comparer à celui que je possède.
Mais si il me reste quelques zones d'ombres, pourriez-vous m'aider ? (je précise que cette exercice n'est pas noté, ce n'est pas un DM ou autre je cherche juste à me préparer à mon partiel)
Un long message de réponse pour vous dire que je ne cherche pas à abuser de votre temps et que je ne demande pas que l'on me donne une réponse et puis ciao mais j'essaie réelement de comprendre.
Je viens de lire le cours que vous m'avez envoyer, je le trouve tellement plus claire que celui que j'avais, j'aurais probablement gagner du temps si j'avais du réviser sur ce type de cours.
Mais je suis toujours bloqué dans mon exercice, en fait je pense que mon plus gros problème c'est que je n'ai pas l'impression de travailler sur un oscillateur dans l'équation du mouvement je ne trouve jamais w02.
Dans la première partie de l'exercice je me retrouve avec 2 équations pour 3 inconnus(,Z1 et Z2)
Et dans la seconde partie, une des solutions particulière de l'équation avec forçage est K/ w02, mais sans w02 (surtout pour répondre à la question e) )
Bonjour
en fait je pense que mon plus gros problème c'est que je n'ai pas l'impression de travailler sur un oscillateur dans l'équation du mouvement je ne trouve jamais w02.
Exact, le mouvement étudié ici est un simple mouvement rectiligne amorti
En revanche il est bien regi par une équation diff. linéaire du 2e ordre donc on utilise la même méthode de résolution que pour un oscillateur
A) x" -
/m x' = o
B ) si x(t) est solution z vérifie: z2 - (
/m) z = o
Donc deux solutions ...
C ) on écrit les conditions initiales pour trouver Z1 et Z2
X(0)=o
X'(0) = Vo
m etVo sont des données du pb Bonjour
J'ai lu le premier message de TinOu un peu en diagonale ; j'ai répondu comme s'il s'agissait de la suite de son post précédent sur l'oscillateur, cette fois -ci en tenant compte des frottements visqueux. La situation est est fait beaucoup plus simple et le document dont j'ai fourni la référence est ici hors sujet.
Je laisse bien volontiers Krinn gérer la suite.
Bonjour Vanoise,
Je suis juste intervenu car je ne voulais pas que Tinou cherche wo toute l'après midi
Je vous laisse continuer car je vais m absenter.
Hahaha, merci Krinn et Vanoise. Mais cette après-midi je révise l'algèbre, je vous poste demain matin la solution !
Re-bonjour , en regardant ce que Krinn m'a posté je crois que j'était tout bon jusqu'à la question c) (youpi )
Mais je ne comprends pas très bien quand vous me dites que
" m etVo sont des données du pb"
Je veux dire sans valeur numérique je ne peux pas aller plus loin que:
x(t)=Z1+Z2e
x(0)Z1+Z2=0
x'(t)=.Z2e
x'(0)=.Z2=v0
Z2=v0/ (#c'est peut etre la réponse attendu ^^)
Pour la seconde partie de l'exercice:
il n'y a que la question e) qui me pose problème je crois
e) Trouver une solution quelconque xf(t) de l'équation avec second membre.
Dans le cas d'un oscillateur une solution particulière c'est mg/k
Est ce que dans le cas d'un mouvement rectiligne amorti une solution quelconque (ou particulière) est juste le poids ?
Je crois que l'essentiel a été déjà écrit. Je résume pour avoir une base claire pour la suite. z est solution de l'équation :
Les deux solutions sont : ; d'où la solution générale où Z0 et Z1 sont deux constantes :
; par dérivation :
Connaissant les conditions initiales :
, facile de déterminer les deux constantes Z0 et Z1
Pour la dernière question, tu peux écrire que la solution générale est la somme de deux solutions :
* la solution de l'équation avec second terme nul, ce qu'on appelle la solution de l'équation homogène ;
* la solution particulière correspondant à la dérivée par rapport à t nulle.
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