Excusez moi j'ai oublié de mettre le schéma

bonjour,

on te demande une équa. diff. régissant x(t) donc il faut exprimer v en fct de x

mx''+hx'=mgsin
Est-ce que c'est normal si il n'y a pas de x et que des dérivées de x ?

non

je précise: non dans ce cas précis

car une équa. diff. avec uniquement des dérivées c'est tout à fait possible

Est-ce que c'est parce que j'ai oublié des frottements F=-k(x-l₀) ?

ce n'est pas un frottement mais ....

Pardon, c'est la raideur
Donc l'équation est mx"+hx'+kx=mgsin+kl₀

non, c'est pas la raideur non plus, mais la force de rappel du ressort
il faut être précis en physique sinon on ne se comprend plus

D'accord donc avec la force de rappel on a mx"+hx'+kx=mgsin+kl₀
Et pour la question 2) pour avoir la position à l'équilibre, c'est quand la vitesse est nulle, donc
kx_équ=mgsin+kl₀
x_équ=(mgsin)/k+l₀

continue jusqu'à ce que tu bloques, inutile de détailler toutes les étapes, indique juste tes réponses intermédiaires

Question 3) Je ne sais pas si c'est comme ça qu'il faut faire
y(t)=x(t)-x_équ donc x(t)=y(t)+x_équ et on remplace x(t) par sa nouvelle valeur dans l'équation (x'(t)=y'(t) comme x_équ est une constante qui ne dépend pas du temps et x''(t)=y''(t))
my''+hy'+ky=mgsin+kl₀-kx_équ
ce qui donne au final : my''+hy'+ky=0


Question 4) Je ne comprends pas comment le second membre qui correspond aux variations de l'angle est apparu

Q3) oui, c'est le but de la manœuvre: on élimine la constante au second membre en changeant de variable

Q4) il faut partir de: my"+hy'+ky = mgsinO -kx_eq
(car le second membre dépend de t maintenant)

et utiliser le fait que alpha(t) est petit devant theta0 pour simplifier ce second membre

sachant que sin(p) - sin(q) se trouve dans tout bon formulaire de trigo, cf

Si alpha est faible son cosinus tend vers 1 et son sinus vers 0 donc au final on cos((t))=sin₀
Je n'ai pas compris comment on peut avoir mgcos₀(t) à partir de mgsinO -kxeq et du fait que alpha soit faible

tu fais le changement de variable: y = x - x_eq

avec x_eq = mg sinO_o/k - l_o (position d'équilibre quand O=O_o)

ce qui donne: my"+hy'+ky = mgsinO - mg sinO_o

et là, tu devrais y arriver

corr.

x_eq = mg sinO_o/k + l_o

Merci beaucoup
my"+hy'+ky = mgsinO - mg sinOo  
mg(sinO-mgsinOo)=mg(2sin((O-Oo)/2)cos((O+Oo)/2))=2mgsin(/2)cos(Oo+(/2))
Comme est faible sin(/2)/2
2mgsin(/2)cos(Oo+(/2)) 2mg(/2)cos(Oo)
mgcos(Oo)

Question 5) my"+hy'+ky=(mg_mcos(Oo))cos(wt)
y"+(h/m)y'+(k/m)y=g_mcos(Oo)cos(wt)
avec w₀=(k/m) et Q=(m/h)(k/m)=((km))/h

Je ne comprends pas la question, quand ils demandent y(t) en régime permanent, ils veulent qu'on résolve l'équation c'est ça ?

il faut revoir les oscillateurs forcés: cf

ici on ne te demande que le régime forcé donc une solution particulière de l'equa. diff.

Je ne suis pas très à l'aise avec les équivalents complexes, est-ce que c'est possible de plutôt faire :
Xsp = Acoswt + Bsinwt
puis Xsp' = Bwcoswt-Awsinwt
Xsp"=-Bw²sinwt-Aw²coswt
Puis on remplace les y de l'équation par la solution particulière Xsp et on résout le système (avec le second membre egal à 0 et le second membre égal à une constante) ?

Finalement j'ai utilisé les complexes comme sur la fiche que vous m'avez donné même si c'était laborieux, ça m'a permis de revoir la méthode
J'ai terminé l'exercice, encore merci pour votre aide c'était très gentil !

de rien, le forum est là pour ça, je pense que ce document est exactement ce qu'il te fallait

1)

mg.sin(theta) - k.(x - Lo) - h.dx/dt = m.d²x/dt²

d²x/dt² + (h/m).dx/dt + (k/m).(x - Lo) = g.sin(theta)
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2)

Si vitesse et accélération nulle ---> position de repos :

d²x/dt² + (h/m).dx/dt + (k/m).(x - Lo) = g.sin(theta)
0 + (h/m).* 0 + (k/m).(x - Lo) = g.sin(theta)
(k/m).(x - Lo) = g.sin(theta)
x = Lo + (mg/k).sin(theta)
xéqu = Lo + (mg/k).sin(theta)
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3)

d²x/dt² + (h/m).dx/dt + (k/m).(x - Lo) = g.sin(theta)
x = y + xequ
d²(y + Lo + (mg/k).sin(theta))/dt² + (h/m).d(y + Lo + (mg/k).sin(theta))/dt + (k/m).(y + Lo + (mg/k).sin(theta) - Lo) = g.sin(theta)
d²y/dt² + (h/m).dy/dt + (k/m).(y + (mg/k).sin(theta)) = g.sin(theta)
d²y/dt² + (h/m).dy/dt + (k/m).y = 0
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4)

On repart de d²y/dt² + (h/m).dy/dt + (k/m).(y + (mg/k).sin(theta)) = g.sin(theta)

d²y/dt² + (h/m).dy/dt + (k/m).(y + (mg/k).sin(theta0 + alpha)) = g.sin(theta0 + alpha)

Avec sin(theta0 + alpha) = sin(theta0) * cos(alpha) + cos(theta0) * sin(alpha)
Avec alpha petit, on a l'approximation : cos(alpha) = 1 et sin(alpha) = alpha
On a donc l'apprproximation : sin(theta0 + alpha) = sin(theta0) + cos(theta0) * alpha

d²y/dt² + (h/m).dy/dt + (k/m).(y + (mg/k).(sin(theta0) + cos(theta0) * alpha)) = g.(sin(theta0) + cos(theta0) * alpha)

d²y/dt² + (h/m).dy/dt + (k/m).(y + (mg/k).cos(theta0) * alpha) = g.cos(theta0) * alpha(t)

Comme alpha est petit, on a (mg/k).cos(theta0) * alpha negligeable devant y et donc :

d²y/dt² + (h/m).dy/dt + (k/m).y = g.cos(theta0) * alpha(t)
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5)

Avec alpha(t) = alphaM.cos(wt) --->

d²y/dt² + (h/m).dy/dt + (k/m).y = g.cos(theta0) * alphaM.cos(wt)

Equation à résoudre ...

Mais comme on veut le régime permament (et que le mouvement est sinusoïdal), on peut remplacer d()/dt par jw et d()²/dt² par j²w²

j²w²y + (h/m).jwy + (k/m)y = g.cos(theta0) * alphaM.cos(wt)
j²m.w²y + h.jwy + k.y = mg.cos(theta0) * alphaM.cos(wt)

y(k - mw² + jhw) = mg.cos(theta0) * alphaM.cos(wt)
y = mg.cos(theta0) * alphaM.cos(wt)/(k - mw² + jhw)

y = (mg.cos(theta0) * alphaM.cos(wt))*((k - mw² - jhw))/((k - mw²)² + h²w²)

y = (mg.cos(theta0) * alphaM.cos(wt))*(k - mw²) + h.(mg.cos(theta0) * alphaM * w.sin(wt)))/((k - mw²)² + h²w²)

Après avoir vérifié (et corrigé si erreur bien possible) on développe ... ou non, on a bien une forme de y = f(t)
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