Niveau master

Oscillateur harmonique quantique

Posté par
azer44170 17-09-22 à 14:17

Bonjour,
En lisant un cours sur l'oscillateur harmonique quantique sur Internet je me suis heurté à quelque chose de mathématique que je n'arrive pas à comprendre.

On cherche une solution de l'équation de Schrodinger sous la forme : $\psi (x)=\phi (x) \mathrm{exp} \left({-\frac{\sqrt{km}}{2h}x^2}\right)$ .
$\phi (x)$ est donc une série entière (polynôme) : $\phi(x) = a_0 + a_1x * a_2 x + …+ a_nx^n+…$ .
En réinjectant dans l'équation de Schrodinger, on obtient :
$a_{n+2}=2m\frac {(n+1/2)h\omega - E}{h^2(n+2)(n+1)}a_n$

Il est dit : la fonction d'onde peut être de carré sommable s'il existe n tel que $E=(n+1/2)h\omega$ . Alors $a_{n+2}$ est nul et donc $a_{n+4}$ , $a_{n+6}$ , etc, aussi !
$\phi(x)$ est donc un polynôme. On voit que ce polynôme est pair ou impair selon la parité de n : en effet, si c'est, par exemple, a_n pair qui est nul, les termes impairs ne s'annulent jamais et la fonction impaire correspondante est à rejeter.

Ce que je ne comprends pas :
1) si $E=(n+1/2)h\omega$ alors tous les a_n sont nuls, même le premier, donc ça ne fonctionne pas puisque ça voudrait dire que $\psi (x) =0$ ?
2) je ne comprends pas non plus la dernière phrase.

Si quelqu'un a compris… je peux mettre le lien vers le site pour être plus clair si jamais.

Merci à vous.

Posté par re : Oscillateur harmonique quantique 17-09-22 à 17:11

Bonjour
Tu as des explications ici. N'oublie pas que la fonction d'onde doit être normée (relation 2 du document).

Posté par re : Oscillateur harmonique quantique 17-09-22 à 21:14

Merci !

Est-ce que vous comprenez pourquoi dans la partie 3.2 il est dit que $E = (n+1/2) h \omega$ ? Parce que si tel est le cas, alors tous les $a_{n+2}$ (même $a_{0+2}$ ) sont nuls et du coup nous n'avons plus de polynômes…

Posté par re : Oscillateur harmonique quantique 17-09-22 à 23:22

La fonction d'onde doit être normée. Cela n'est possible que si y(x) correspond à un polynôme d'ordre n fini. Cette valeur de n est le nombre quantique caractérisant l'état de l'oscillateur.
On peut alors montrer que, si a_n0 et a_n+2=O, l'énergie est quantifiée et vérifie la relation (11) du document. La relation (9) appliquée de proche en proche est conforme au fait que n soit l'ordre du polynôme car cette relation conduit facilement à :
a_n+4=0 ; a_n+6=0, etc...
Cette même relation (9) conduit aussi à :

$a_{n}=a_{n-2}\cdot\dfrac{4\alpha\left(n-2\right)+2\alpha-2\frac{m.E}{\hbar^{2}}}{\left(n-1\right).n}$
et ainsi de suite ; les termes de même parité que n sont donc a priori non nuls. Quant aux termes n'ayant pas la parité de n, ils vérifient aussi la relation (9) :

$a_{n+1}=a_{n-1}\cdot\dfrac{4\alpha\left(n-1\right)+2\alpha-2\frac{m.E}{\hbar^{2}}}{n.\left(n-1\right)}$
d'où la conclusion de ton corrigé.

Posté par re : Oscillateur harmonique quantique 22-09-22 à 11:09

Oui d'accord, je viens de comprendre maintenant !

Merci d'avoir pris le temps de me répondre.

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