Niveau master

Oscillateur harmonique quantique

Posté par
GranH 19-09-18 à 19:45

Bonjour !

Je bloque sur l'exercice suivant :

1. Quelles sont les valeurs propres de : (On suppose les résultats de l'oscillateur harmonique à une dimension connus)

$H=\frac{p^{2}_{x}}{2m} + \frac{p^{2}_{y}}{2m} + \frac{K}{2}(x^{2}+y^{2})$

Je ne détaillerais pas les calculs mais pour en gros vous exposer mon raisonnement : j'ai séparé l'hamiltonien en deux, un dependant de x l'autre de y ce qui m'amene ainsi à un hamiltonien à une dimension et la solution de H est donc la somme des valeurs propres d'où : $E_{n}=E_{x}+E_{y}=(n_{x} + n_{y} + 1)\hbar\omega$

2. Même question pour

$H=\frac{p^{2}_{x}}{2m} + \frac{p^{2}_{y}}{2m} + \frac{K}{2}(5x^{2}+5y^{2}+4xy)$

C'est ici que j'ai besoin de votre aide, en effet je souhaite exprimer cet hamiltonien dans sa base propre, je fais donc le changement de variable suivant :

$X=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)$

$Y=\frac{1}{\sqrt{2}}(x-y)$

En remplaçant dans l'expression j'obtiens :

$H=\frac{p^{2}_{X}}{4m} + \frac{p^{2}_{Y}}{4m} + \frac{K}{2}(7X^{2}+3Y^{2})$

Je peux donc séparer à nouveau les variables : $H_{X} H_{Y}=H$
Cependant j'ai des facteurs qui font que mon expression diffère de celle de l'OH à 1D. Que suis-je censé faire afin de trouver les valeurs propres correspondantes ?

Je vous remercie d'avance de vos réponses,
cordialement.