Niveau maths sup

oscillateur harmonique

Posté par
yosh2 18-08-21 à 23:16

Bonjour
les solutions de l'equation d'un oscillateur harmonique sont de la forme $a\cos(\omega t) + b\sin(\omega t)$ ou $a\cos(\omega t + \phi)$ , toutefois en essayant de la demontrer je n'obtiens pas la meme chose, en effet on a l'equation
$x'' + \omega^2 x = 0$ l'equation caracteristique est $r^2 + \omega^2 = 0$ de racine $r_1 = -j\omega$ et $r_2 = j\omega$ donc $x(t) = \ae^{j\omega t} + be^{-j\omega t}$
en physique on manipule les grandeurs reelles donc en prenant la partie reelle je trouve $\Re(x(t)) = a\cos(\omega t) + b\cos(-\omega t) =a\cos(\omega t) + b\cos(\omega t)$ puisque cos est paire,
pouvez vous m'aider a comprendre ou se trouve mon erreur ?
merci

Posté par re : oscillateur harmonique 19-08-21 à 01:36

Tu as tout simplement confondu les deux "a" et "A" :
$acos(wt)+bsin(wt)=Acos(wt+\phi )$
avec $A=\sqrt{(a^2+b^2)}$ et $tan(\phi)=-b/a$

(Si c'est bien ça ce que tu cherchais )

Posté par re : oscillateur harmonique 19-08-21 à 10:26

Non ce n'est pas tout a fait ca, en effet ma notation avec 'a' et 'a' etait ambiguë , toutefois mon problème réside dans la seconde partie ou je résous l'equadiff et ou je trouve la somme de deux cos au lieu de cos+sin

Posté par re : oscillateur harmonique 19-08-21 à 13:01

C'est bien simple aussi il fallait juste ne pas oublier que le a et le b sont des nombres complexes :
Ae^jwt+Be^-jwt
A=a+ib B =a'+ib'
(a+ib)e^jwt+(a'+ib')e^-jwt
Développe l'expression et prends la partie réelle et le tour est joué

Posté par re : oscillateur harmonique 19-08-21 à 13:33

Bonjour
c'est bien ce que je cherchais , en effet j'avais oublie l'appartenance de a et b aux complexes .
merci a vous

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