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Oscillateur harmonique
Le but de mon exercice est de déterminer la dynamique de la molécule CO. Voici l'énoncé:
On se place dans le référentiel du centre de masse de la molécule dans un repère centré au point O. On s'intéresse au mouvement de la particule fictive située au point M, repéré par →r =→OM, de masse µ, correspondant à la masse réduite de la molécule : µ =mCmO/(mC+mO). Son énergie potentielle peut être modélisée par le potentiel de Morse : V(r ) = D*[1−exp(−α(r−r0))]²,
où D, α et r0 sont des constantes positives qui s'expriment en eV, Å−1
et Å, respectivement.
La gravité est complètement négligeable dans la description du mouvement.
La première question est de déterminer la position d'équilibre et de dire si elle est stable ou non. J'ai calculé la force découlant de l'énergie potentielle telle que : F=-q*grad(V) et je trouve 0.
Cela signifie-t-il que la molécule est toujours à l'équilibre quelque soit sa position?
Merci d'avance pour votre réponse.
Bonjour
Une position d'équilibre stable correspond à un minimum local d'énergie potentielle. Une position d'équilibre instable correspond à un maximum local d'énergie potentielle.
Merci mais cela ne répond pas à ma question. Est-ce que puisque le gradient du potentiel est nul cela signifie que toutes les positions de la molécule sont des positions d'équilibre?
je t'ai indiquée la méthode la plus rapide pour déterminer la position d'équilibre et sa nature. Il n'est pas nécessaire de passer par l'expression de F : cela permettrait de trouver la condition d'équilibre mais ne permettrait pas simplement de trouver la nature de cet équilibre. Dans la mesure où l'énoncé fournit l'énergie potentielle, la méthode que je t'ai fournie est probablement celle attendue par le concepteur de l'énoncé.
Cela dit, le gradient de l'énergie potentielle n'est pas nulle en tout point comme tu viens de le remarquer. Attention : il ne s'agit pas ici d'un problème d'électrostatique. V(r) désigne l'énergie potentielle (souvent notée Ep) ; pour s'en convaincre, il suffit de remarquer que D est exprimé en électronvolts, pas en volts !
Ah d'accord! Mais alors pour trouver la position d'équilibre il me suffit de résoudre d/dr (V(r))=0? Je trouve r=r0. C'est bien cela?
Je trouve r=r0.
Oui. Un rapide tableau de variations comme tu sais le faire en math permet de savoir si cette position correspond à un maximum ou à un minimum de V(r), ce qui permet de dire si l'équilibre est stable ou instable.
Oui je vois, merci beaucoup.
Dans la suite il me demande de supposer que la valeur absolue de r-r0 est très inférieure devant r0. La question est : Dans cette approximation, donner une expression approchée de V(r ), en fonction des dérivées premières et secondes de V(r ).
Je dois faire un développement de Taylor à l'ordre 2 en x=r-r0 ?
Oui, cela devrait te conduire à montrer qu'au voisinage de r=ro :
V(r)
½k(r-ro)2
ce qui correspond à un oscillateur harmonique. (k : constante à exprimer en fonction des constantes du problème).
Je n'arrive pas à retrouver ce résultat. J'ai appliqué la formule de taylor à l'ordre 2 au point r-r0 et j'obtiens une longue formule contenant des exponentielles. Comment suis-je censée retrouver le (r-r0)²?
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