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Oscillateur harmonique

Posté par
pfff 08-12-20 à 20:08

Bonsoir, j'aimerais un peu d'aide pour cet exercice. Merci

ÉNONCÉ

On considère un ressort de raideur k horizontal dont une extrémité est attachée à une masse m ݉, repérée par rapport  à  sa  position  d'équilibre  au  repos  par  sa  coordonnée  x(t)  sur  l'axe  horizontal (Ox) ,  et  dont  l'autre extrémité  est  attaché  à  une  paroi  mobile.  Un  opérateur  extérieur  met  en  mouvement  la  paroi  de  manière sinusoïdale et on note y(t) = y_0cos\omega t sa position. On néglige tous les frottements

Oscillateur harmonique

1. Établir l'équation différentielle du mouvement de la masse.

On se place en RSF. Dans ce cas x(t) = x_0cos(\omega t + \varphi ) et on introduit \bar{x(t )} = x_0e^{j\varphi }e^{j\omega t} = \bar{x_0}e^{j\omega t}

2.Établir l'expression de l'amplitude complexe \bar{x_0} et en déduire l'amplitude réelle x_0(\omega ) et la phase \varphi ( \omega )

3. Réprésenter l'allure de x_0(\omega ) et \varphi ( \omega ). Que se passe t'il pour \omega = \omega _0

4. Calculer la composante V_x de la vitesse puis en déduire l'expression de la puissance instantanée de la force de rappel élastique ainsi que la puissance moyenne.

Remarque : je pouvait pas mettre ''la barre'' en bas

Posté par
vanoisere : Oscillateur harmonique 08-12-20 à 20:50

Bonsoir
Commence par exprimer la variation de longueur du ressort à la date t puis applique la RFD  pour obtenir l'équation différentielle recherchée.

Posté par
pfffre : Oscillateur harmonique 08-12-20 à 20:56

1- je trouve \frac{d²x}{dt²} + \frac{k}{m}x = 0

je ne vois pas trop comment trouver xo

Posté par
pfffre : Oscillateur harmonique 08-12-20 à 20:59

Citation :
.Établir l'expression de l'amplitude complexe \bar{x_0}


\bar{x_0} = x_0e^{j\varphi }  c'est comme ca je dois repondre avant de determiner xo et fi ?

Posté par
vanoisere : Oscillateur harmonique 08-12-20 à 21:54

Tu n'as pas bien compris mon message précédent  et tu brûles les étapes.
Commence par exprimer l'allongement du ressort (l-lo) en fonction de x et de y.  Tu obtiens ensuite l'expression de la force exercée par le ressort sur la masse en fonction de x,y et k.
Ensuite, applique la RFD pour obtenir l'équation différentielle recherchée.

Posté par
pfffre : Oscillateur harmonique 08-12-20 à 22:00

T = - k ( l - lo)

     = - k ( x )

pourquoi on doit l'exprimer en fonction de x et y ?

A l'instant initial la masse etait en O non ?

Posté par
vanoisere : Oscillateur harmonique 08-12-20 à 22:04

Non le ressort s'allonge de x d'un côté et se raccourcit de y de l'autre.  Donc ? Reprends attentivement mon message précédent.

Posté par
pfffre : Oscillateur harmonique 08-12-20 à 22:16

T = - k ( l-lo )

T =  - k ( x - y )                        (j'ai pas bien compris ca )

RFD : \vec{P} + \vec{R} + \vec{T} = m\vec{a}

en projetant sur (x'x) on a :

- k ( x - y ) = m \ddot{x} \ddot{x} + \frac{k}{m}x - \frac{k}{m}y = 0

Posté par
vanoisere : Oscillateur harmonique 08-12-20 à 22:35

OK. Remplace maintenant y par son expression en fonction de t. L'énoncé demande d'étudier uniquement la solution sinusoïdale x= xo.cos(.t+).
Il faut utiliser la méthode des complexes associés aux grandeurs sinusoïdales. Tu as sûrement eu un cours sur ce sujet. Tu peux aussi t'aider de la partie 1 de ce document, essentiellement les paragraphes 1.2 et 1.3.

Posté par
pfffre : Oscillateur harmonique 08-12-20 à 22:49

en remplacant y par son expression j'obtiens

\ddot{x} + \frac{k}{m}x = \frac{k}{m}y_0cos\omega t

Posté par
vanoisere : Oscillateur harmonique 08-12-20 à 22:52

C'est cela ; c'est maintenant qu'il faut appliquer la méthode des complexes associés en respectant les notations de ton énoncé et en tenant compte de mon message précédent.

Posté par
pfffre : Oscillateur harmonique 08-12-20 à 23:03

\ddot{x} + \frac{k}{m}x = \bar{y_0}e^{j\omega t}

Posté par
vanoisere : Oscillateur harmonique 08-12-20 à 23:12

Il faut remplacer x par son complexe associé.  N'oublie pas qu'en régime sinusoïdal, existe une relation simple entre x, et la dérivée seconde de x par rapport à t.

Posté par
pfffre : Oscillateur harmonique 08-12-20 à 23:13

pour la 2e question on sait ca ;

\bar{x_0} = x_0e^{j\varphi }  et on veut determiner xo et

. Determination de

on a x (0 ) = xocos donc \varphi = \frac{\pi }{2 }\: ou \: \varphi = -\frac{\pi }{2}

\dot{x ( 0 )} = -x_0\omega sin\varphi donc sin < 0

d'ou = /2

comment determiner xo ?

Posté par
pfffre : Oscillateur harmonique 08-12-20 à 23:16

vanoise @ 08-12-2020 à 23:12

Il faut remplacer x par son complexe associé.  N'oublie pas qu'en régime sinusoïdal, existe une relation simple entre x, et la dérivée seconde de x par rapport à t.


ok on a :

(j\omega )²\bar{x} + \frac{k}{m}\bar{x} = \bar{y_0}e^{j\omega t}

Posté par
vanoisere : Oscillateur harmonique 08-12-20 à 23:16

Ton message de 23h13 a sans doute été écrit avant lecture de mon message de 23h12... Tu veux encore aller trop vite... Tu as sans doute étudié en cours quelque chose de comparable...

Posté par
pfffre : Oscillateur harmonique 08-12-20 à 23:21

pour la question 1

1 - (j\omega )²\bar{x} + \frac{k}{m}\bar{x} = \bar{y_0}e^{j\omega t}

Posté par
vanoisere : Oscillateur harmonique 09-12-20 à 08:52

La division par m affecte aussi le terme de droite dans ton équation.
Il te faut ensuite identifier les modules et les arguments du complexe de gauche et du complexe de droite.

Posté par
pfffre : Oscillateur harmonique 09-12-20 à 09:10

Identifier par rapport à quoi ?

Posté par
vanoisere : Oscillateur harmonique 09-12-20 à 10:40

Tu as écrit hier soir à 22h49 :

\ddot{x}+\frac{k}{m}x=\frac{k}{m}y_{0}cos\omega t

Cela est correct mais pourquoi, dans les message suivants, « m » a-t-il disparu du terme de droite ? On cherche une solution sinusoïdale à cette équation différentielle : x=x_{o}.\cos\left(\omega.t+\varphi\right). On remarque dans ce cas : \ddot{x}=-\omega^{2}.x d'où l'équation :

\left(\frac{k}{m}-\omega^{2}\right).x_{o}.\cos\left(\omega.t+\varphi\right)=\frac{k}{m}y_{0}\cos(\omega t)

A chaque grandeur sinusoïdale on associe un complexe de la façon suivante : l'amplitude de la grandeur sinusoïdale est égale au module du complexe associé (attention : parler de valeur absolue d'un complexe n'a pas de sens ! ) et la phase de la grandeur sinusoïdale est égale à l'argument du complexe. Cela donne :

\left(\frac{k}{m}-\omega^{2}\right).x_{o}.e^{j\left(\omega.t+\varphi\right)}=\frac{k}{m}y_{0}.e^{j\left(\omega.t\right)}

Après simplification par e^{j\left(\omega.t\right)} :

\left(\frac{k}{m}-\omega^{2}\right).x_{o}.e^{j\varphi}=\frac{k}{m}y_{0}

En identifiant modules et arguments, tu peux obtenir xo et .

Posté par
pfffre : Oscillateur harmonique 09-12-20 à 11:56

Jz trouve

= 0 et xo = yo

Posté par
pfffre : Oscillateur harmonique 09-12-20 à 12:01

Désolé c'est pas ça

Posté par
vanoisere : Oscillateur harmonique 09-12-20 à 12:36

J'imagine que tu es habitué à raisonner en math sur les modules et les arguments des complexes. Le document que je t'ai fourni peu éventuellement t'aider...
Que vaut le module du terme de droite ? Il doit être égal au module du terme de gauche...
Quel est l'argument du terme de droite ? Il doit être égal à l'argument du terme de gauche.
Tu vas être amené à distinguer deux cas suivant le signe de (k/m - 2).

Posté par
pfffre : Oscillateur harmonique 09-12-20 à 13:29

* Détermination de xo

\left(\frac{k}{m}-\omega^{2}\right).x_{o}.e^{j\varphi}=\frac{k}{m}y_{0}

(\frac{k}{m} - \omega² ) \bar{x_0} = \frac{k}{m}y_0

(\omega _0² - \omega² ) \bar{x_0} = w_0²y_0

\bar{x_0} = \frac{\omega _0²}{\omega _0²-\omega² }y_0

|\bar{x_0}| = |\frac{\omega _0²}{\omega _0²-\omega² }y_0|

x_0 = \frac{\omega _0²}{|\omega _0²-\omega²| }y_0

voici ce que je trouve

Posté par
vanoisere : Oscillateur harmonique 09-12-20 à 13:38

C'est cela ! Reste la phase initiale .

Posté par
pfffre : Oscillateur harmonique 09-12-20 à 14:27

* Phase

arg(\bar{x_o}) = arg(x_0e^{j\varphi })

or x_0e^{j\varphi } = y_0\frac{w_0²}{|w_o²-w²|}e^{j\varphi }

je vois pas trop comment continuer

Posté par
vanoisere : Oscillateur harmonique 09-12-20 à 15:13

Quel est l'argument du terme de droite ?
Le terme de gauche doit avoir le même argument. C'est là qu'intervient le signe de (o2 - 2) dans la mesure où l'amplitude xo est, par convention, un réel positif.

Posté par
pfffre : Oscillateur harmonique 09-12-20 à 22:58

\bar{x_0} = y_0\frac{w_0²}{|w_o²-w²|}

donc si w_0 > w alors \bar{x_0} = y_0\frac{w_0²}{w_0²-w²}
Ainsi \varphi =0

si w_0 < w alors \bar{x_0} = -y_0\frac{w_0²}{w_0²-w²}
donc \varphi = \pi

Posté par
vanoisere : Oscillateur harmonique 09-12-20 à 23:19

C'est bien cela. A noter que pour un problème aussi simple où l'équation différentielle de départ conduit à  x  multiplié simplement par un réel et non par un complexe, l'usage des complexes associés n'est pas indispensable. Cet exercice est tout de même intéressant pour t'entraîner à l'utilisation des complexes en régime sinusoïdal.

Posté par
pfffre : Oscillateur harmonique 09-12-20 à 23:29

Ok d'accord. Pour la dernière

Pour calculer Vx je fais dans chaque cas w > wo et w < wo

mais comment je calcule la puissance moyenne et instantanée ?

Posté par
vanoisere : Oscillateur harmonique 10-12-20 à 14:57

Pour la suite, tu as intérêt à utiliser l'expression générale de x valide à chaque instant :
x=yo.o2/(o2-2).cos(.t).
En particulier pour obtenir la vitesse.
De façon générale, la puissance instantanée d'une force est le produit scalaire du vecteur force par le vecteur vitesse.

Posté par
pfffre : Oscillateur harmonique 11-12-20 à 00:38

ok merci


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