Niveau maths sup

oscillateur harmonique

Posté par
infinit 06-09-13 à 16:22

Un point matériel mobile sans frottement sur un axe horizontal est relié à deux murs par l'intermédiaire de deux ressorts de raideur respective k1 et k2 et de longueur à vide respective lo1 et lo2. Les points de fixation des ressorts sont aux abscisses x=0 et x=L. La position du point matériel est caractérisée par le vecteur OM=Xux.

1/Exprimer la résultante des forces élastiques subies par le point matériel. Montrer que l'ensemble des deux ressorts est équivalent à un unique ressort dont on précisera constante de raideur et longueur à vide.

2/Les deux ressorts sont maintenant identique : k1=k2=k et lo1=lo2=lo. De plus, L=2lo. Le point matériel est llancé de sa position d'équilibre avec une vitesse initiale V=voux[/i]. Déterminer sa position en fonction du temps.

Je n'y arrive pas du tout. Pour la 1/ j'ai trouver une force =-k1(l-lo1)ux et une autre =k2(l'-lo2)ux. Mais après je suis bloqué. Quelqu'un peut-il m'aider, merci beaucoup.

Posté par re : oscillateur harmonique 06-09-13 à 21:34

Un résidu de torpeur estivale?

Les 2 murs sont aux abscisses $0$ et $L$
Le point M est à l'abscisse $X$

Les longueurs des 2 ressorts sont donc:

- R1:   $(X-0) = X$
- R2:   $(L-X) = L-X$

Sachant que pour un ressort de raideur $k$ si l'écartement algébrique par rapport à la longueur à vide est $d$ la force de rappel est   $F = -kd$

Les forces exercées par les 2 ressorts sur M sont donc:

-   $F_1 = -k_1(X-l_0_1)$
- $F_2 = -k_2(L-X-l_0_2)$

La résultante est donc
$F = F_1 + F_2 = ...$

Est ce OK maintenant pour la question 1) ... On verra la 2) ensuite

Posté par re : oscillateur harmonique 06-09-13 à 21:43

Ah merci monsieur. Donc maintenant il faudrait que je transforme F=-k1(x-lo1)-k2(l-x-lo2) en F=-k3(x'-lo3) ?

Posté par re : oscillateur harmonique 06-09-13 à 22:05

Le "monsieur" me stresse ... j'ai donc l'air si vieux!

Pour répondre à ta question, oui c'est tout à fait cela, le $l_0_3$ représentant la position d'équilibre du système à 2 ressorts!

N'hésite pas si tu cales sur 2)

Posté par re : oscillateur harmonique 06-09-13 à 22:09

En fait je n'arrive pas à répondre à la 1/

Posté par re : oscillateur harmonique 06-09-13 à 22:21

Aïe ...

La force résultante est:

$F = F_1 + F_2 = -k_3(X - X_0)$

Avec:
$k_3 = k_1-k_2$
$X_0 = -\frac{1}{k_3}(k_2L -k_2l_0_2 - k_1l_0_1)$

$X_0$ étant bien sûr la position d'équilibre du point M

Posté par re : oscillateur harmonique 06-09-13 à 22:53

Ah merci. Un conseil pour la 2/ ?

Posté par re : oscillateur harmonique 07-09-13 à 03:44

Un peu étourdi je suis en ce début d'année ... Petite (grosse en fait) erreur de signe dans ma force résultante. On doit effet compter $F_2$ positivement lorsque $L-X > l_0_2$ !!!

La résultante est donc, algébriquement:
$F = F_1 + F_2 = -k_1(X - l_0_1) + k_2(L - X-l_0_2)$

Soit

$F = -(k_1 + k_2)(X - \frac{k_2 L + k_1 l_0_1 - k_2 l_0_2}{k_1 + k_2})$

On peut passer à la question 2) alors ...

La force résultante se résume alors en

$F = -2k(X-l_0)$

Et la 2eme RFD donne   $m\frac{d^2X}{dt^2} = -2k(X-l_0)$

La solution de cette équation différentielle du 2nd ordre est:

$X = l_0 + Acos(\omega.t + \phi)$

Avec   $\omega = \sqrt \frac{2k}{m}$
Et $A,  \phi$ données par les conditions initiales

A $t = 0$
$X = l_0 = Acos\phi$
$\frac{dX}{dt} = V_0 = -A\omega sin\phi$

Ce qui donne   $\phi = -\frac{\pi}{2}$ et $A = \frac{V_0}{\omega}$

Soit en final

$X = l_0 + \frac{V_0}{\omega}sin(\omega.t)$ avec toujours   $\omega = \sqrt \frac{2k}{m}$

Sauf nouvelle bourde de ma part, on doit être bon ...