Bonsoir,

l'equation differentielle d²x/dt² + ²x = 0 est celle d'un ocillateur harmonique oscillant avec la pulsation de part et d'autre de sa position d'equilibre x = 0 ; l'equation d²x/dt² + ²x = ².x_eq traduit le meme phenomene, mais cette fois l'oscillation se fait de part et d'autre de la position d'equilibre x = x_eq. Donc la reponse est oui.

Prbebo.

Bonsoir,


Et dans ce cas la solution de cette equation est :
x(t) = A.cos(.t) + B.sin(.t) + x_eq ( qui est la solution particulière ??)



mais sinon de maniere générale, si il n'y aurait pas le x_eq mais une autre constante :
d²x/dt² + ².x =cst  est-ce aussi un oscillateur?

Merci

Bonjour cheri,

la reponse aux deux questions est oui, mais avec une nuance : ce n'est exact que si le second membre ne depend pas du temps. La solution de l'equation est en effet la somme de deux deux termes : la solution x_h(t) de l'equation homogene (cad sans second membre), donc d²x/dt² + ²x = 0, qui donne x_h(t) = Acos(t + ), et une solution particuliere x_p(t) de l'equation avec second membre.
Cette solution particuliere a toujours la meme dependance temporelle que celle du second membre :
-   si le second membre est une constante qqe soit t, alors x_p est aussi une constante qqe soit t ;
-   si le second membre est une loi lineaire du type at + b, alors x_p(t) s'ecrit comme t + (ce cas se produit dans les circuits electriques alimentes par un generteur qui delivre une tension dite "en dent de scie").
-   si le second membre est une fonction sinusoidale, C.cos(t), on pose x_p(t) = A.cos(t + ) (cas important, car il s'agit de systemes mecaniques ou electriques soumis a une action exterieure sinusoidale).
Revenons au cas d'un second membre constant : alors x_p doit etre constant, et donc ses deriveesx premiere et seconde sont nulles. L'equation d²x_p/dt² + (k/m).x_p = (k/m).xeq donne alors x_p = xeq. Et plus generalement, l'equation d²x/dt² + ².x = K admet pour solution particuliere x_p = cste = K/².  OK ?

Prbebo.

Bonjour,

J'ai bien compris mais vous dites que le 2nd menbre ne doit pas dépendre du temps or dans les deux dernieres cas :
-   si le second membre est une loi lineaire du type at + b
-   si le second membre est une fonction sinusoidale
le 2nd menbre dépend du temps ici


Mais sinon j'ai eu ce doute car quand on cherche dans plusieurs cours y compris sur internet je tombe souvent sur (voir tout le temps) : "l'equation d'un oscilateur harmonique est :d²x/dt² + .x = 0 " ( ils ne mentionnent pas les cas ou le 2nd membre pourrait être une constante)


Merci

tu as mal interprete mon precedent post : je n'ai jamais dit que "le 2nd menbre ne doit pas dépendre du temps". J'ai simplement repondu a ta question "la solution de cette equation est : x(t) = A.cos(t) + B.sin(.t) + xeq ( qui est la solution particulière )" par "oui, si le second membre (cad ².xeq) ne depend pas du temps", ce qui n'est pas tout a fait pareil. Et pour te donner des contre exemples, j'ai cite deux cas ou xeq est une fonction du temps. Dans ce cas, la solution particuliere a meme dependance temporelle que celle de xeq(t), mais avec d'autres coefficients ( et au lieu de a et b, par exemple).
Dans le cas de l'equation d²x/dt² + ²x = K, la solution est la somme d'une fonction sinusoidale (A.cos(t + )) et de la solution particuliere K/² : c'est donc un oscillateur harmonique, qui oscille autour de sa position moyenne K/². Pour la premiere equation donnee dans ton post, celle ou le second membre s'ecrit ².xeq, xeq etant constant, la solution particuliere est evidemment xeq. La solution x(t) est donc une oscillation de part et d'autre de xeq, qui represente la position d'equilibre (d'ou son nom).
L'equation d²x/dt² + .²x = 0 correspond a un oscillateur harmonique particulier, qui oscille autour de la position d'equilibre xeq = 0.

Prbebo.

Merci pour vos réponses, par contre j'ai une dernière questions( qui peut paraître bête):

d2x/dt2 - (k/m).x=0  est-ce toujours un oscillateur harmonique? le signe - ne dérange pas?


Merci

Le discriminant de l'equation caractéristique sera positif et donc ce n'est pas un oscillateur (on sera en regime apériodique et pas d'oscillation ) ?*

Bonjour cheri,

en en effet l'equation differentielle d2x/dt2 = (k/m) admet comme solution x = A.exp(t) + B.exp(-t), avec ² = k/m ; celle-ci peut aussi s'ecrire A₁.ch(t) + A₂.sh(t), sh et ch etant les sinus et cosinus hyperboliques. Cette solution ne peut en aucun cas representer une oscillation, puisque x si t . Le signe - a donc une enorme importance.

Prbebo.